Calcule a Transformada de Laplace da função

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular a Transformada de Laplace de uma função específica. A matéria envolvida aqui é, obviamente, a Transformada de Laplace. Para resolver isso, a gente vai precisar conhecer as propriedades básicas das transformadas, especialmente aquelas que lidam com funções exponenciais e potências de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função que queremos transformar. A função dada é:
Aqui, o é apenas um número que está multiplicando a função . Na Transformada de Laplace, constantes multiplicativas saem da transformada como estão.

Passo 3

Agora, vamos focar em transformar a parte principal da função, que é . A Transformada de Laplace de uma função dessa forma pode ser encontrada usando uma fórmula padrão:
Onde:
  • é o fatorial de
  • é a constante no expoente
  • é a variável da Transformada de Laplace
No nosso caso, e (porque temos ).

Passo 4

Vamos aplicar a fórmula com esses valores:
Aqui, calculamos e substituímos na fórmula.

Passo 5

Agora, não esqueçamos do que estava multiplicando a função. Como a Transformada de Laplace é linear, podemos multiplicar a transformada que encontramos por esse número:

Resposta

A Transformada de Laplace da função é:

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Determine as derivadas parciais de e ordem das funções:

Explique, com suas palavras, o que o resultado anterior significa!