Determine as derivadas parciais de
e
ordem das funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
. O assunto aqui é derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável e queremos saber como a função muda em relação a cada variável individualmente. Vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de múltiplas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
.
Para encontrar
, derivamos a função em relação a
, tratando
como uma constante:
Agora, para encontrar
, derivamos a função em relação a
, tratando
como uma constante:
Passo 3
Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Temos que encontrar
,
,
e
.
Começamos com
, que é a derivada de
em relação a
:
Em seguida, encontramos
, que é a derivada de
em relação a
:
De forma similar,
é a derivada de
em relação a
:
Por fim, encontramos
, que é a derivada de
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem são: