Determine as derivadas parciais de 1^a e 2^a ordem das funções:
f_x(x, y) f_y(x, y), f_{xy}(x, y), f_{yx}(x, y), f_{xx}(x, y), f_{yy}(x, y)
f(x, y) = x^4 - 3 x^2 y^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função . O assunto aqui é derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável e queremos saber como a função muda em relação a cada variável individualmente. Vamos precisar aplicar as regras de derivação para funções de múltiplas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e .
Para encontrar , derivamos a função em relação a , tratando como uma constante:
Agora, para encontrar , derivamos a função em relação a , tratando como uma constante:

Passo 3

Agora, vamos para as derivadas parciais de segunda ordem. Temos que encontrar , , e .
Começamos com , que é a derivada de em relação a :
Em seguida, encontramos , que é a derivada de em relação a :
De forma similar, é a derivada de em relação a :
Por fim, encontramos , que é a derivada de em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem são:
As derivadas parciais de segunda ordem são:

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