Calcule, usando a definição, a derivada da função
, para
; dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para calcular a derivada da função
no ponto
usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar lembrar da definição de derivada e também usar a identidade trigonométrica fornecida: .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada. A derivada de
em um ponto
é dada por:
Aqui, vamos substituir
por 1, já que queremos a derivada no ponto
.
Passo 3
Vamos substituir
na fórmula. Temos:
Simplificando dentro dos colchetes:
Passo 4
Vamos expandir
usando a identidade trigonométrica fornecida. Substituindo
e
, temos:
Portanto, nossa expressão fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão. Primeiro, observamos que
e
. Assim, sobra:
Podemos dividir cada termo do numerador por
:
Passo 6
Agora, vamos analisar cada limite separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa expressão:
Resposta
A derivada de
no ponto
é .
Exercícios relacionados
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(e)
(e)
Duas variáveis
e y são funções duma variável independente
e estão relacionadas pela seguinte equação
. Se a taxa de variação de
em relação a
é igual a 2 quando
, então, determine qual a taxa de variação de y em relação a
, nesse mesmo instante;
Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do , destacando se este comportamento depende do valor inicial
;
©
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do
©
Calcule as derivadas primeiras das seguintes funções