Calcule, usando a definição, a derivada da função f(x) = cos(4 x) - x^2, para x = 1; dado: cos(a +- b) = cos(a) * cos(b) -+ sen(a) * sen(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A questão pede para calcular a derivada da função no ponto usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar lembrar da definição de derivada e também usar a identidade trigonométrica fornecida: .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da definição de derivada. A derivada de em um ponto é dada por:
Aqui, vamos substituir por 1, já que queremos a derivada no ponto .

Passo 3

Vamos substituir na fórmula. Temos:
Simplificando dentro dos colchetes:

Passo 4

Vamos expandir usando a identidade trigonométrica fornecida. Substituindo e , temos:
Portanto, nossa expressão fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão. Primeiro, observamos que e . Assim, sobra:
Podemos dividir cada termo do numerador por :

Passo 6

Agora, vamos analisar cada limite separadamente. Sabemos que:
Aplicando isso na nossa expressão:

Resposta

A derivada de no ponto é .

Exercícios relacionados

Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(e) d/y dt = x y^3 (1 + x^2)^(-1/2), y(0) = 1
Duas variáveis x e y são funções duma variável independente t e estão relacionadas pela seguinte equação y(t) sen(t^2 + 1) + y^2(t) x^3(t) = t^3, a = 2. Se a taxa de variação de x em relação a t é igual a 2 quando x = 0, então, determine qual a taxa de variação de y em relação a t, nesse mesmo instante;
Para as equações abaixo:
I. Desenhe um campo de direções (sem auxílio de ferramenta computacional);
II. Identifique as soluções de equilíbrio;
III. Analise o comportamento do lim t infty y(t), destacando se este comportamento depende do valor inicial y(0)=y0;
© y^prime=y(y-10)
Calcule as derivadas primeiras das seguintes funções f(x) = 4 sen(2 x) cosh(4 x)