Duas variáveis
e y são funções duma variável independente
e estão relacionadas pela seguinte equação
. Se a taxa de variação de
em relação a
é igual a 2 quando
, então, determine qual a taxa de variação de y em relação a
, nesse mesmo instante;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas variáveis,
e
, que dependem do tempo
e estão ligadas pela equação
. Nosso objetivo aqui é descobrir como
está mudando em relação a
naquele instante específico onde
e a taxa de variação de
em relação a
(
) é igual a 2. Para resolver isso, vamos usar o conceito de diferenciação implícita, que é uma técnica para achar derivadas quando as variáveis estão interligadas de forma complicada.
Passo 2
Primeiro, precisamos derivar toda a equação em relação a
. Isso significa que vamos aplicar a regra da derivada em cada termo da equação. Vamos lá:
Vamos derivar cada parte:
-
Derivada de
: - Usamos a regra do produto:
-
⇒ -
⇒ (usando a regra da cadeia)
Então: - Usamos a regra do produto:
-
Derivada de
: - Novamente, usamos a regra do produto.
-
⇒ -
⇒
Então: -
Derivada de
:
Passo 3
Agora, juntando tudo, a equação derivada fica:
Nosso próximo passo é isolar
. Vamos reagrupar os termos que têm
:
Então, isolando
:
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação:
- Sabemos que
e . - Além disso, precisamos descobrir
quando e .
Vamos encontrar
:
Agora, substituímos
,
,
, e
na fórmula de
:
Simplificando:
Resposta
A taxa de variação de
em relação a
nesse instante é:
Exercícios relacionados
No exercícios de (15) a (23), calcule os limites das sequências
:
22) .
22)
Dado que
é uma solução explícita da equação
, qual dos itens apresenta o maior intervalo de definição possível para esta solução? justifique sua escolha.
(d)
(d)
Encontre uma solução para os problemas de valor inicial, esboce o gráfico destas (pode usar uma ferramenta computacional se necessário), e determine o intervalo no qual a solução está definida:
(e)
(e)
Calcule, usando a definição, a derivada da função
, para
; dado: