Calcule (usando integração por partes) integral sen x sen 3 x d x

Passo 1

Vamos resolver a integral . Este exercício envolve cálculo de integrais usando o método de integração por partes. Para isso, precisaremos identificar partes da integral que vão ser diferenciadas e integradas. Além disso, lembraremos algumas identidades trigonométricas que podem ajudar na simplificação.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a identidade trigonométrica para o produto de senos:
Aplicando essa identidade com sen A sen B = 12 [cos(A - B) - cos(A + B)] e A = x, temos:
Sabemos que B = 3x, então:

Passo 3

Agora, a integral original fica:
Podemos separar a integral:
integral sen x sen 3x , dx = 12 integral (cos 2x - cos 4x) , dx

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de cos kx é .
Para sen kxk:
Para integral cos 2x , dx:

Passo 5

Substituindo as integrais calculadas de volta na expressão:

Resposta

A integral é igual a , onde integral sen x sen 3x , dx é a constante de integração.

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