Calcule (usando integração por partes) integral0^pi2 x^2 sen(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral definida de de 0 a . Esse tipo de integral cai no conteúdo de cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da função vamos diferenciar e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a fórmula de integração por partes, que é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher qual parte da nossa função será e qual será . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica quando diferenciada, e como a parte que é fácil de integrar.

Passo 3

Vamos escolher:
u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx
dv = sin(x) , dx Rightarrow v = -cos(x)

Passo 4

Substituindo na fórmula de integração por partes:
integral x^2 sin(x) , dx = -x^2 cos(x) + integral 2x cos(x) , dx
Agora, temos uma nova integral que também precisa ser resolvida por integração por partes.

Passo 5

Para a nova integral u = 2x Rightarrow du = 2 , dx , vamos novamente escolher dv = cos(x) , dx Rightarrow v = sin(x) e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral 2x cos(x) , dx = 2x sin(x) - integral 2 sin(x) , dx
= 2x sin(x) + 2 cos(x)

Passo 7

Voltando à expressão anterior:
integral x^2 sin(x) , dx = -x^2 cos(x) + 2x sin(x) + 2 cos(x) + C
Como estamos lidando com uma integral definida de 0 a , precisamos avaliar essa expressão nos limites de integração.

Passo 8

Vamos calcular cada termo:
Para -(pi2)^2 cos(pi2) = -(pi2)^2 cdot 0 = 0 :
2 cdot pi2 sin(pi2) = pi cdot 1 = pi
2 cos(pi2) = 2 cdot 0 = 0
-0^2 cos(0) = 0
Para 2 cdot 0 sin(0) = 0 :
2 cos(0) = 2 cdot 1 = 2

Passo 9

Subtraindo os valores nos limites:
(0 + pi + 0) - (0 + 0 + 2) = pi - 2

Resposta

A integral definida é igual a .

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