Considere a função . Justificando, estude a continuidade de f.
Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0 e em caso afirmativo, determine f^prime(x0) :
a) f(x)=l-3 x, x <= 2 x-8, x>2 (x0=2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 15a juntos! A questão pede para verificar se a função
f(x) = l -3x, se x <= 2 x - 8, se x > 2
é derivável em usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável e como calcular a derivada usando limites laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para a função ser derivável em , ela precisa ser contínua nesse ponto. Ou seja, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e ambos devem ser iguais a . Vamos verificar isso.
Passo 3
Calculando o limite pela esquerda ( limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (-3x) = -3 times 2 = -6 ):
Passo 4
Calculando o limite pela direita ( limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ (x - 8) = 2 - 8 = -6 ):
Passo 5
Como e os limites laterais também são -6, a função é contínua em .
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada pela definição:
f'(2) = limh to 0 f(2+h) - f(2)h
Como a função é definida de forma diferente para e , precisamos calcular os limites laterais da derivada.
Passo 7
Derivada pela esquerda ( f'(2^-) = limh to 0^- f(2+h) - f(2)h = limh to 0^- (-3(2+h)) - (-6)h ):
= limh to 0^- -6 -3h +6h = limh to 0^- -3hh = -3
Passo 8
Derivada pela direita ( f'(2^+) = limh to 0^+ f(2+h) - f(2)h = limh to 0^+ ((2+h) -8) - (-6)h ):
= limh to 0^+ 2 + h -8 +6h = limh to 0^+ hh = 1
Passo 9
Comparando as derivadas laterais:
Como as derivadas pela esquerda e pela direita não são iguais, a função não é derivável em .
Resposta
A função não é derivável em porque as derivadas laterais são diferentes: e .