1. Considere a função f(x)=llx^3-xx^2-3 x+2, & x<2 e x neq 1 -2 & , x=1 10 & , x=5 x ln |x-5| & , x >= 2 e x neq 5. Justificando, estude a continuidade de f.
  2. Usando a definição, verifique se as funções a seguir são deriváveis em x0 e em caso afirmativo, determine f^prime(x0) :
    a) f(x)=l-3 x, x <= 2 x-8, x>2 (x0=2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 15a juntos! A questão pede para verificar se a função
f(x) = l -3x, se x <= 2 x - 8, se x > 2
é derivável em usando a definição de derivada. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável e como calcular a derivada usando limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para a função ser derivável em , ela precisa ser contínua nesse ponto. Ou seja, o limite quando se aproxima de 2 pela esquerda deve ser igual ao limite pela direita e ambos devem ser iguais a . Vamos verificar isso.

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda ( limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (-3x) = -3 times 2 = -6 ):

Passo 4

Calculando o limite pela direita ( limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ (x - 8) = 2 - 8 = -6 ):

Passo 5

Como e os limites laterais também são -6, a função é contínua em .

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada pela definição:
f'(2) = limh to 0 f(2+h) - f(2)h
Como a função é definida de forma diferente para e , precisamos calcular os limites laterais da derivada.

Passo 7

Derivada pela esquerda ( f'(2^-) = limh to 0^- f(2+h) - f(2)h = limh to 0^- (-3(2+h)) - (-6)h ):
= limh to 0^- -6 -3h +6h = limh to 0^- -3hh = -3

Passo 8

Derivada pela direita ( f'(2^+) = limh to 0^+ f(2+h) - f(2)h = limh to 0^+ ((2+h) -8) - (-6)h ):
= limh to 0^+ 2 + h -8 +6h = limh to 0^+ hh = 1

Passo 9

Comparando as derivadas laterais:
Como as derivadas pela esquerda e pela direita não são iguais, a função não é derivável em .

Resposta

A função não é derivável em porque as derivadas laterais são diferentes: e .

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