Calcule as seguintes funções integrais, indicando seu domínio: integral0^x e^2-5 t d t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular uma integral definida: integral0^x e^2-5 t , dt. Aqui, estamos lidando com o conteúdo de Cálculo Integral, especificamente com a integração de funções exponenciais. Vamos precisar conhecer como integrar funções do tipo e^kt, onde k é uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para integrar uma função exponencial como e^kt, onde k é uma constante, a antiderivada é 1k e^kt + C, onde C é a constante de integração. Nesse caso, nossa função é e^2 - 5t. Podemos reescrever isso como e^2 cdot e^-5t para facilitar a integração.

Passo 3

Agora, vamos integrar a função e^2 - 5t em relação a t. Usando a regra que mencionamos:
integral e^2 - 5t , dt = integral e^2 cdot e^-5t , dt = e^2 cdot integral e^-5t , dt = e^2 cdot ( e^-5t-5 ) + C = -e^2 - 5t5 + C

Passo 4

Como a integral é definida de 0 até x, vamos calcular a diferença das antiderivadas nos pontos x e 0:
integral0^x e^2 - 5t , dt = [ -e^2 - 5t5 ]0^x = -e^2 - 5x5 - ( -e^2 - 05 ) = -e^2 - 5x5 + e^25

Passo 5

Podemos simplificar a expressão tirando o fator comum 15:
integral0^x e^2 - 5t , dt = e^25 - e^2 - 5x5 = e^2 - e^2 - 5x5

Passo 6

Agora, vamos determinar o domínio dessa função. A função exponencial e^2 - 5t está definida para todos os números reais t, então a integral também estará definida para todo x in R.

Resposta

integral0^x e^2-5 t , dt = e^2 - e^2 - 5x5, com domínio x in R í

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