Calcule, usando a integral dupla, o volume dos seguintes sólidos: (j) S é o tetraedro limitado pelos planos x + 2y + z = 2, x = 2y, x = 0 e z = 0.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume de um tetraedro usando integrais duplas. A questão nos dá os planos que limitam o sólido: , , e . Para resolver isso, vamos precisar entender como montar os limites de integração e aplicar a fórmula da integral dupla para volume.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região de integração no plano . Como no fundo do tetraedro, vamos projetar o sólido nesse plano. Os limites para são de a (a partir de até ). Para , observamos que quando e , substituindo, temos , ou seja, . Então, varia de a .

Passo 3

Agora, vamos expressar em termos de e . Do plano , isolamos :
Isso nos dá o limite superior para , já que começa de .

Passo 4

Com todos os limites definidos, podemos montar a integral dupla que representa o volume :
Aqui, integramos em relação a de a , e depois em relação a de a .

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
Substituindo os limites:

Passo 6

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Calculando:

Resposta

O volume do tetraedro é unidades cúbicas.

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