Calcule, usando a integral dupla, o volume dos seguintes sólidos: (j)
é o tetraedro limitado pelos planos
e
.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume de um tetraedro usando integrais duplas. A questão nos dá os planos que limitam o sólido:
,
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como montar os limites de integração e aplicar a fórmula da integral dupla para volume.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região de integração no plano
. Como
no fundo do tetraedro, vamos projetar o sólido nesse plano. Os limites para
são de
a
(a partir de
até
). Para
, observamos que quando
e
, substituindo, temos
, ou seja,
. Então,
varia de
a
.
Passo 3
Agora, vamos expressar
em termos de
e
. Do plano
, isolamos
:
Isso nos dá o limite superior para
, já que
começa de
.
Passo 4
Com todos os limites definidos, podemos montar a integral dupla que representa o volume
:
Aqui, integramos
em relação a
de
a
, e depois em relação a
de
a
.
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Substituindo os limites:
Passo 6
Agora, substituímos o resultado na integral externa:
Calculando:
Resposta
O volume do tetraedro é
unidades cúbicas.