Calcule, usando a integral dupla, o volume dos seguintes sólidos: © S é o sólido limitado por y - x + z = 1 e pelos planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que está limitado pelo plano e pelos planos coordenados (os três planos que definem os eixos , e ). Isso envolve cálculo de integrais duplas para encontrar o volume. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração e a função que representa o sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do plano . Para facilitar, vamos resolver essa equação para :
Isso nos dá a altura em termos de e .

Passo 3

Como estamos lidando com os planos coordenados, os limites para , e serão de 0 até os pontos onde o plano intercepta os eixos. Para encontrar esses pontos:
  • Quando e : (mas como , não consideramos).
  • Quando e : .
  • Quando e : .
Isso nos mostra que varia de 0 a 1 e varia de 0 a para cada .

Passo 4

Agora, configuramos a integral dupla para o volume. A fórmula geral para o volume é:
Substituindo pela expressão que encontramos:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão em relação a :
Integrando termo a termo:
Subtraindo os resultados:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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