Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o volume de um sólido que está limitado pelo plano e pelos planos coordenados (os três planos que definem os eixos , e ). Isso envolve cálculo de integrais duplas para encontrar o volume. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração e a função que representa o sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do plano . Para facilitar, vamos resolver essa equação para :
Isso nos dá a altura em termos de e .
Passo 3
Como estamos lidando com os planos coordenados, os limites para , e serão de 0 até os pontos onde o plano intercepta os eixos. Para encontrar esses pontos:
Quando e : (mas como , não consideramos).
Quando e : .
Quando e : .
Isso nos mostra que varia de 0 a 1 e varia de 0 a para cada .
Passo 4
Agora, configuramos a integral dupla para o volume. A fórmula geral para o volume é:
Substituindo pela expressão que encontramos:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral interna resulta em:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a :