Investigue a continuidade das funções a seguir:
b)
no ponto
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para investigar a continuidade da função
no ponto
. A função é definida de forma diferente para
e para
. Vamos usar conceitos de continuidade e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é continuidade: uma função é contínua em um ponto
se três condições forem atendidas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Verificar se
está definida:
No enunciado, está claro que
. Então, a primeira condição está satisfeita.
Passo 4
2. Calcular o limite de
quando
se aproxima de
:
Para
, a função é
. Vamos simplificar essa expressão:
Aqui, podemos cancelar o termo
, desde que
:
Agora, calculamos o limite de
quando
se aproxima de
:
Então, o limite existe e é igual a
.
Passo 5
3. Comparar o limite com
:
Calculamos que:
E sabemos que
.
Como o limite é igual ao valor da função no ponto, a terceira condição também está satisfeita.
Resposta
A função
é contínua no ponto
.