Investigue a continuidade das funções a seguir:
b) g(x) = { (x^2 - 1) / (x + 1), se x ≠ -1; -2, se x = -1 } no ponto a = -1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para investigar a continuidade da função no ponto . A função é definida de forma diferente para e para . Vamos usar conceitos de continuidade e limites para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é continuidade: uma função é contínua em um ponto se três condições forem atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. Verificar se está definida:
No enunciado, está claro que . Então, a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

2. Calcular o limite de quando se aproxima de :
Para , a função é . Vamos simplificar essa expressão:
Aqui, podemos cancelar o termo , desde que :
Agora, calculamos o limite de quando se aproxima de :
Então, o limite existe e é igual a .

Passo 5

3. Comparar o limite com :
Calculamos que:
E sabemos que .
Como o limite é igual ao valor da função no ponto, a terceira condição também está satisfeita.

Resposta

A função é contínua no ponto .

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