Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:

Nos dois itens, justifique as suas respostas.

Passo 1

Aqui está o que precisamos fazer: calcular a integral de em relação a , utilizando séries de potências. Para isso, vamos usar a série de Taylor da função seno e integrar cada termo da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de potência para em torno de é dada por:
No nosso caso, temos .

Passo 3

Substituindo na série de seno, temos:

Passo 4

Agora, queremos integrar em relação a . Assim, temos:

Passo 5

Podemos integrar termo a termo a série, desde que a série convirja uniformemente no intervalo considerado. Então, a integral se torna:

Passo 6

Agora, calculamos a integral de :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na série, temos:

Resposta

A integral de em termos de série de potências é:

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Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
.
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
, com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Encontre a série de potências que representa a função
Encontre também o raio de convergência dessa série. Justifique as suas respostas.