Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Passo 1
Aqui está o que precisamos fazer: calcular a integral de
em relação a
, utilizando séries de potências. Para isso, vamos usar a série de Taylor da função seno e integrar cada termo da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de potência para
em torno de
é dada por:
No nosso caso, temos
.
Passo 3
Substituindo
na série de seno, temos:
Passo 4
Agora, queremos integrar
em relação a
. Assim, temos:
Passo 5
Podemos integrar termo a termo a série, desde que a série convirja uniformemente no intervalo considerado. Então, a integral se torna:
Passo 6
Agora, calculamos a integral de
:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Substituindo de volta na série, temos:
Resposta
A integral de
em termos de série de potências é:
Exercícios relacionados
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
.
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
, com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Encontre a série de potências que representa a função
Encontre também o raio de convergência dessa série. Justifique as suas respostas.