Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
(a) integral sen(x^3) d x
Nos dois itens, justifique as suas respostas.

Passo 1

Aqui está o que precisamos fazer: calcular a integral de sin(x^3) em relação a x, utilizando séries de potências. Para isso, vamos usar a série de Taylor da função seno e integrar cada termo da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a série de potência para sin(z) em torno de z = 0 é dada por:
sin(z) = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! z^2n+1
No nosso caso, temos z = x^3.

Passo 3

Substituindo z = x^3 na série de seno, temos:
sin(x^3) = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! (x^3)^2n+1 = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! x^6n+3

Passo 4

Agora, queremos integrar sin(x^3) em relação a x. Assim, temos:
integral sin(x^3) , dx = integral ( sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! x^6n+3 ) dx

Passo 5

Podemos integrar termo a termo a série, desde que a série convirja uniformemente no intervalo considerado. Então, a integral se torna:
integral sin(x^3) , dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! integral x^6n+3 , dx

Passo 6

Agora, calculamos a integral de x^6n+3:
integral x^6n+3 , dx = x^6n+46n+4 + C
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Substituindo de volta na série, temos:
integral sin(x^3) , dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! cdot x^6n+46n+4 + C

Resposta

A integral de sin(x^3) em termos de série de potências é:
integral sin(x^3) , dx = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! cdot (6n+4) , x^6n+4 + C

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