Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Isso significa que vamos descobrir para quais valores de essa série não “explode” e soma até um número finito. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta ótima para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge. A ideia é calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Vamos montar a razão :

Passo 5

Agora, calculamos o limite :
À medida que cresce, também cresce sem limite. Portanto, o limite tende para infinito a menos que .

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que . Mas, como vimos, tende para infinito para qualquer . Isso significa que a única possibilidade de convergência é quando .

Passo 7

Resolvendo , temos:
Portanto, a série só converge quando .

Resposta

O intervalo de convergência da série é apenas . O raio de convergência é .

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Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
;
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:

Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
, com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.