Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
sumn=1^infty (n+1)!3^n(x+1)^n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potências sumn=1^infty (n+1)!3^n(x+1)^n. Isso significa que vamos descobrir para quais valores de essa série não “explode” e soma até um número finito. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta ótima para esse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de L = limn to infty | an+1an | a série converge. A ideia é calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não é conclusivo.

Passo 3

Vamos identificar an = (n+1)!3^n(x+1)^n na nossa série:
an+1 = (n+2)!3^n+1(x+1)^n+1
Agora, vamos calcular :

Passo 4

Vamos montar a razão an+1an = (n+2)!3^n+1(x+1)^n+1 times 3^n(n+1)!(x+1)^-n = (n+2)(x+1)3 :

Passo 5

Agora, calculamos o limite L = limn to infty | (n+2)(x+1)3 | = limn to infty (n+2)|x+1|3 :
À medida que cresce, também cresce sem limite. Portanto, o limite tende para infinito a menos que .

Passo 6

Para a série convergir, precisamos que . Mas, como vimos, tende para infinito para qualquer . Isso significa que a única possibilidade de convergência é quando .

Passo 7

Resolvendo x = -1 , temos:
Portanto, a série só converge quando .

Resposta

O intervalo de convergência da série é apenas . O raio de convergência é .

Exercícios relacionados