Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência. .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o intervalo de convergência da série de potências . Isso significa que vamos descobrir para quais valores de essa série não “explode” e soma até um número finito. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta ótima para esse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar para quais valores de a série converge. A ideia é calcular o limite:
Se , a série converge; se , a série diverge; e se , o teste não é conclusivo.
Passo 3
Vamos identificar na nossa série:
Agora, vamos calcular :
Passo 4
Vamos montar a razão :
Passo 5
Agora, calculamos o limite :
À medida que cresce, também cresce sem limite. Portanto, o limite tende para infinito a menos que .
Passo 6
Para a série convergir, precisamos que . Mas, como vimos, tende para infinito para qualquer . Isso significa que a única possibilidade de convergência é quando .
Passo 7
Resolvendo , temos:
Portanto, a série só converge quando .
Resposta
O intervalo de convergência da série é apenas . O raio de convergência é .