Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
sumn=1^infty (n+1)!n^n x^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o intervalo de convergência da série de potências . Isso faz parte do estudo de séries de potências, onde a gente quer saber para quais valores de a série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta legal para analisar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz para calcular o limite de an+1an = (n+2)!(n+1)^n+1 x^n+1 cdot n^n(n+1)! x^n = (n+2)(n+1) cdot (nn+1)^n cdot x quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Aqui, . Vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos simplificar esse limite:
limn to infty (n+2)(n+1) cdot (nn+1)^n cdot x
Sabemos que 1 cdot e^-1 cdot x = xe , e |xe| < 1 implies |x| < e tende a quando vai para o infinito. Além disso, tende a 1. Então, o limite fica:
Para que a série convirja, precisamos que esse limite seja menor que 1 em valor absoluto:

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .

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