Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que descobrir o intervalo de convergência da série de potências . Isso faz parte do estudo de séries de potências, onde a gente quer saber para quais valores de a série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma ferramenta legal para analisar a convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz para calcular o limite de quando tende ao infinito. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.
Aqui, . Vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos simplificar esse limite:
Sabemos que , e tende a quando vai para o infinito. Além disso, tende a 1. Então, o limite fica:
Para que a série convirja, precisamos que esse limite seja menor que 1 em valor absoluto:

Resposta

O intervalo de convergência é e o raio de convergência é .

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Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
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Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
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Determine o intervalo de convergência das séries de potências a seguir e, quando possivel, exiba o raio de convergência.
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Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:

Nos dois itens, justifique as suas respostas.