Encontre a série de potências que representa a função
Encontre também o raio de convergência dessa série. Justifique as suas respostas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a série de potências que representa a função
e também o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como manipulá-las. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte da função que está no denominador: . Queremos expressar essa parte como uma série de potências. Para simplificar, vamos lembrar de uma série que conhecemos bem: a série geométrica.
A série geométrica é dada por:
onde . Nossa ideia é manipular isso para se encaixar na nossa função.

Passo 3

Observe que temos no denominador. Podemos reescrever isso como . Assim, nossa expressão fica:
Agora, aplicamos a série geométrica:

Passo 4

Mas a nossa função tem no denominador, ou seja, temos a série ao quadrado. Então, precisamos encontrar a série para .
Sabemos que:
onde . Nesse caso, , então:

Passo 5

Agora, voltamos à nossa função original:
Substituímos a série que encontramos:

Passo 6

Vamos agora multiplicar pela série. Isso significa que vamos distribuir o para cada termo da série:

Passo 7

Simplificando um pouco mais, podemos escrever a série final como:
Essa é a série de potências que representa a função dada.

Passo 8

Agora, vamos encontrar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica converge quando . No nosso caso, a variável na série é . Para garantir a convergência, o termo deve ser menor que 1:
Então, o raio de convergência é 1.

Resposta

A série de potências que representa a função é
e o raio de convergência dessa série é 1.

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Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
, com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:

Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Estude a convergência das séries:
;
Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
$(b) ;