Encontre a série de potências que representa a função
Encontre também o raio de convergência dessa série. Justifique as suas respostas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a série de potências que representa a função
e também o raio de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre séries de potências e como manipulá-las. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte da função que está no denominador:
. Queremos expressar essa parte como uma série de potências. Para simplificar, vamos lembrar de uma série que conhecemos bem: a série geométrica.
A série geométrica é dada por:
onde
. Nossa ideia é manipular isso para se encaixar na nossa função.
Passo 3
Observe que temos
no denominador. Podemos reescrever isso como
. Assim, nossa expressão fica:
Agora, aplicamos a série geométrica:
Passo 4
Mas a nossa função tem
no denominador, ou seja, temos a série ao quadrado. Então, precisamos encontrar a série para
.
Sabemos que:
onde
. Nesse caso,
, então:
Passo 5
Agora, voltamos à nossa função original:
Substituímos a série que encontramos:
Passo 6
Vamos agora multiplicar
pela série. Isso significa que vamos distribuir o
para cada termo da série:
Passo 7
Simplificando um pouco mais, podemos escrever a série final como:
Essa é a série de potências que representa a função dada.
Passo 8
Agora, vamos encontrar o raio de convergência dessa série. Sabemos que a série geométrica
converge quando
. No nosso caso, a variável na série é
. Para garantir a convergência, o termo
deve ser menor que 1:
Então, o raio de convergência é 1.
Resposta
A série de potências que representa a função é
e o raio de convergência dessa série é 1.
Exercícios relacionados
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
, com duas casas decimais.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Calcule, usando séries de potências, as seguintes integrais:
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Nos dois itens, justifique as suas respostas.
Estude a convergência das séries:
;
Verifique se as sequências abaixo são convergentes ou divergentes. Justifique suas respostas.
$(b) ;
$(b)