Calcule usando substituição trigonométrica.
b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral pertence ao estudo de integrais envolvendo funções racionais e radicais, e a substituição trigonométrica é uma técnica que ajuda a simplificar expressões com raízes quadradas. Para isso, vamos precisar identificar uma substituição que elimine o radical e torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos no denominador. Esse tipo de expressão sugere uma substituição trigonométrica baseada na identidade . Então, vamos fazer a substituição:
Dessa forma, e .

Passo 3

Agora, precisamos calcular . Derivando em relação a , temos:
Vamos substituir todos esses na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, temos a integral . Para resolver essa integral, vamos usar uma identidade de integração para potências pares de . Sabemos que:
Aplicando isso com :
Sabemos que , então:
Multiplicando por 27:

Passo 5

Agora, voltamos à variável original . Sabemos que , então e .
Substituindo esses valores:
Simplificando:

Resposta

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Calcule:
calcule
Calcule usando substituição trigonométrica.
d)
Calcule usando substituição trigonométrica.
f)