Calcule usando substituição trigonométrica.
b) integral x^3raizx^2-9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando substituição trigonométrica. Esse tipo de integral pertence ao estudo de integrais envolvendo funções racionais e radicais, e a substituição trigonométrica é uma técnica que ajuda a simplificar expressões com raízes quadradas. Para isso, vamos precisar identificar uma substituição que elimine o radical e torne a integral mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos x = 3 sec theta no denominador. Esse tipo de expressão sugere uma substituição trigonométrica baseada na identidade . Então, vamos fazer a substituição:
Dessa forma, e .

Passo 3

Agora, precisamos calcular dx = 3 sec theta tan theta , dtheta . Derivando integral (3 sec theta)^33 tan theta cdot 3 sec theta tan theta , dtheta em relação a integral 27 sec^3 theta3 tan theta cdot 3 sec theta tan theta , dtheta = integral 27 sec^4 theta , dtheta , temos:
Vamos substituir todos esses na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 4

Agora, temos a integral integral sec^n theta , dtheta = sec^n-2 theta tan thetan-1 + n-2n-1 integral sec^n-2 theta , dtheta . Para resolver essa integral, vamos usar uma identidade de integração para potências pares de integral sec^4 theta , dtheta = sec^2 theta tan theta3 + 23 integral sec^2 theta , dtheta . Sabemos que:
integral sec^4 theta , dtheta = sec^2 theta tan theta3 + 23 tan theta + C
Aplicando isso com 27 ( sec^2 theta tan theta3 + 23 tan theta ) + C = 9 sec^2 theta tan theta + 18 tan theta + C :
Sabemos que , então:
Multiplicando por 27:

Passo 5

Agora, voltamos à variável original 9 (x^29) cdot raizx^2 - 93 + 18 cdot raizx^2 - 93 + C . Sabemos que x^2 raizx^2 - 93 + 6 raizx^2 - 9 + C , então e .
Substituindo esses valores:
Simplificando:

Resposta

x^2 raizx^2 - 93 + 6 raizx^2 - 9 + C

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