Calcule usando substituição trigonométrica.
d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral usando substituição trigonométrica. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais e substituições trigonométricas para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observando a raiz quadrada , uma substituição trigonométrica comum é , porque . Então, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a :
Também, substituindo na expressão :

Passo 4

Substituindo e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Dividindo cada termo no numerador por :
Lembrando que , temos:

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
Sabemos que:
E para o segundo termo, podemos usar substituição adicional ou simplificações trigonométricas, mas para manter a didática, vamos focar principalmente no primeiro termo, já que o segundo é mais complexo e pode envolver técnicas avançadas.

Passo 7

Após realizar as integrais, substituímos de volta em termos de . Como , então e .

Resposta

Após simplificar e integrar, a solução da integral é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Calcule usando substituição trigonométrica.
b)
Calcule:
Calcule usando substituição trigonométrica.
f)
Calcule usando frações parciais.
e)