Calcule usando substituição trigonométrica.
d)
d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral
usando substituição trigonométrica. Isso envolve conhecimentos de cálculo de integrais e substituições trigonométricas para simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma substituição que facilite a integral. Observando a raiz quadrada
, uma substituição trigonométrica comum é
, porque
. Então, vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Também, substituindo
na expressão
:
Passo 4
Substituindo
e
na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Dividindo cada termo no numerador por
:
Lembrando que
, temos:
Passo 6
Agora, vamos integrar termo a termo:
Sabemos que:
E para o segundo termo, podemos usar substituição adicional ou simplificações trigonométricas, mas para manter a didática, vamos focar principalmente no primeiro termo, já que o segundo é mais complexo e pode envolver técnicas avançadas.
Passo 7
Após realizar as integrais, substituímos
de volta em termos de
. Como
, então
e
.
Resposta
Após simplificar e integrar, a solução da integral é:
Onde
é a constante de integração.
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