Calcule usando substituição trigonométrica.
f) integral x^5raizx^2+16 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral bem daquelas que envolvem radicais com expressões quadráticas, mais especificamente . O conteúdo que vamos usar pra resolver isso é substituição trigonométrica, uma técnica útil pra integrar funções que têm esse tipo de radical. Então, vamos precisar fazer uma troca de variável que envolva funções trigonométricas pra simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz: x = 4 tantheta , onde (porque ). Para integrar usando substituição trigonométrica nesse caso, a gente usa a substituição:
Essa substituição facilita a manipulação do radical, já que vira algo mais simples com funções trigonométricas.

Passo 3

Agora, precisamos achar dx = 4 sec^2theta , dtheta em termos de . Derivando em relação a , temos:
Então, substituindo e na integral original, teremos tudo em termos de , o que vai facilitar a integração.

Passo 4

Vamos substituir na integral:
integral x^5raizx^2 + 16 , dx = integral (4 tantheta)^5raiz(4 tantheta)^2 + 16 cdot 4 sec^2theta , dtheta
Simplificando dentro da raiz:
raiz16 tan^2theta + 16 = raiz16 (tan^2theta + 1) = raiz16 sec^2theta = 4 sectheta
Então, a integral fica:
integral (4 tantheta)^54 sectheta cdot 4 sec^2theta , dtheta = integral 4^5 tan^5theta cdot 14 sectheta cdot 4 sec^2theta , dtheta
Simplificando os constantes:
4^5 cdot 14 cdot 4 = 4^5 = 1024
Então, a integral fica:
1024 integral tan^5theta sec^3theta , dtheta
Mas isso ainda está complicado, então vamos simplificar mais usando identidades trigonométricas.

Passo 5

Vamos reescrever tan^4theta = (tan^2theta)^2 = (sec^2theta - 1)^2 como 1024 integral (sec^2theta - 1)^2 tantheta sec^3theta , dtheta e lembrar que du = sectheta tantheta , dtheta . Assim:
Agora, nossa integral fica:
Agora, vamos fazer uma substituiç��o adicional para facilitar a integração. Vamos deixar , então:

Passo 6

Substituindo na integral:
1024 integral (sec^2theta - 1)^2 cdot sec^3theta cdot tantheta , dtheta = 1024 integral (u^2 - 1)^2 cdot u^3 cdot du
Agora, expandimos (u^2 - 1)^2 = u^4 - 2u^2 + 1 :
1024 integral (u^4 - 2u^2 + 1) u^3 , du = 1024 integral (u^7 - 2u^5 + u^3) , du
Então, temos:
1024 ( u^88 - 2u^66 + u^44 ) + C = 1024 ( u^88 - u^63 + u^44 ) + C
Agora, integramos termo a termo:

Passo 7

Agora, substituímos 1024 ( sec^8theta8 - sec^6theta3 + sec^4theta4 ) + C de volta:
= 128 sec^8theta - 10243 sec^6theta + 256 sec^4theta + C
Simplificando os coeficientes:
Agora, precisamos expressar tudo de volta em termos de , usando a substituição original .

Passo 8

Lembrando que 128 ( raizx^2 + 164 )^8 - 10243 ( raizx^2 + 164 )^6 + 256 ( raizx^2 + 164 )^4 + C , então 128 cdot (x^2 + 16)^44^8 - 10243 cdot (x^2 + 16)^34^6 + 256 cdot (x^2 + 16)^24^4 + C . Também, sabemos que 4^8 = 65536, 4^6 = 4096, 4^4 = 256 .
Substituindo 12865536 (x^2 + 16)^4 - 10243 cdot 4096 (x^2 + 16)^3 + 256256 (x^2 + 16)^2 + C de volta:
1512 (x^2 + 16)^4 - 112 (x^2 + 16)^3 + (x^2 + 16)^2 + C
Simplificando as potências:
Calculando os denominadores:
Então:
Simplificando:

Resposta

Então, a integral 1512 (x^2 + 16)^4 - 112 (x^2 + 16)^3 + (x^2 + 16)^2 + C é igual a:
onde é a constante de integração.

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