Calcule usando substituição trigonométrica.
f)
f)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral bem daquelas que envolvem radicais com expressões quadráticas, mais especificamente
. O conteúdo que vamos usar pra resolver isso é substituição trigonométrica, uma técnica útil pra integrar funções que têm esse tipo de radical. Então, vamos precisar fazer uma troca de variável que envolva funções trigonométricas pra simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz:
, onde
(porque
). Para integrar usando substituição trigonométrica nesse caso, a gente usa a substituição:
Essa substituição facilita a manipulação do radical, já que
vira algo mais simples com funções trigonométricas.
Passo 3
Agora, precisamos achar
em termos de
. Derivando
em relação a
, temos:
Então, substituindo
e
na integral original, teremos tudo em termos de
, o que vai facilitar a integração.
Passo 4
Vamos substituir na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Simplificando os constantes:
Então, a integral fica:
Mas isso ainda está complicado, então vamos simplificar mais usando identidades trigonométricas.
Passo 5
Vamos reescrever
como
e lembrar que
. Assim:
Agora, nossa integral fica:
Agora, vamos fazer uma substituiç��o adicional para facilitar a integração. Vamos deixar
, então:
Passo 6
Substituindo na integral:
Agora, expandimos
:
Então, temos:
Agora, integramos termo a termo:
Passo 7
Agora, substituímos
de volta:
Simplificando os coeficientes:
Agora, precisamos expressar tudo de volta em termos de
, usando a substituição original
.
Passo 8
Lembrando que
, então
. Também, sabemos que
.
Substituindo
de volta:
Simplificando as potências:
Calculando os denominadores:
Então:
Simplificando:
Resposta
Então, a integral
é igual a:
onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Calcule usando substituição trigonométrica.
d)
d)
Calcule usando substituição trigonométrica.
b)
b)
Calcule usando frações parciais.
e)
e)
Calcule usando frações parciais.
f)
f)