Calcule usando substituição trigonométrica.
f)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma integral bem daquelas que envolvem radicais com expressões quadráticas, mais especificamente . O conteúdo que vamos usar pra resolver isso é substituição trigonométrica, uma técnica útil pra integrar funções que têm esse tipo de radical. Então, vamos precisar fazer uma troca de variável que envolva funções trigonométricas pra simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da expressão dentro da raiz: , onde (porque ). Para integrar usando substituição trigonométrica nesse caso, a gente usa a substituição:
Essa substituição facilita a manipulação do radical, já que vira algo mais simples com funções trigonométricas.

Passo 3

Agora, precisamos achar em termos de . Derivando em relação a , temos:
Então, substituindo e na integral original, teremos tudo em termos de , o que vai facilitar a integração.

Passo 4

Vamos substituir na integral:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Simplificando os constantes:
Então, a integral fica:
Mas isso ainda está complicado, então vamos simplificar mais usando identidades trigonométricas.

Passo 5

Vamos reescrever como e lembrar que . Assim:
Agora, nossa integral fica:
Agora, vamos fazer uma substituiç��o adicional para facilitar a integração. Vamos deixar , então:

Passo 6

Substituindo na integral:
Agora, expandimos :
Então, temos:
Agora, integramos termo a termo:

Passo 7

Agora, substituímos de volta:
Simplificando os coeficientes:
Agora, precisamos expressar tudo de volta em termos de , usando a substituição original .

Passo 8

Lembrando que , então . Também, sabemos que .
Substituindo de volta:
Simplificando as potências:
Calculando os denominadores:
Então:
Simplificando:

Resposta

Então, a integral é igual a:
onde é a constante de integração.

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