Calcule usando frações parciais.
e) integral x^2+5 x+4x^2-2 x+1 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral integral x^2+5x+4x^2-2x+1 dx usando frações parciais. Isso está dentro do estudo de Cálculo Integral, especificamente na técnica de decomposição em frações parciais. Para resolver isso, precisamos entender como dividir a fração quando os graus do numerador e do denominador são iguais e depois decompor a fração resultante.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( x^2+5x+4) é igual ao grau do denominador ( x^2-2x+1). Nesses casos, precisamos fazer a divisão polinomial antes de usar frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir x^2+5x+4 por x^2-2x+1. Ao fazer isso, encontramos que x^2+5x+4 = (x^2-2x+1) cdot 1 + 7x + 3. Portanto, a fração pode ser escrita como:
x^2+5x+4x^2-2x+1 = 1 + 7x + 3x^2-2x+1

Passo 4

Agora, precisamos decompor 7x + 3x^2-2x+1 em frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador: x^2-2x+1 = (x-1)^2. Então, podemos escrever:
7x + 3(x-1)^2 = Ax-1 + B(x-1)^2

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por (x-1)^2 para eliminar os denominadores:
7x + 3 = A(x-1) + B
Expandindo:
7x + 3 = Ax - A + B

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para x:
7 = A
Para os termos constantes:
3 = -A + B 3 = -7 + B B = 10

Passo 7

Substituímos os valores de A e B na decomposição:
7x + 3(x-1)^2 = 7x-1 + 10(x-1)^2

Passo 8

Voltando à integral original, temos:
integral x^2+5x+4x^2-2x+1 dx = integral (1 + 7x-1 + 10(x-1)^2) dx

Passo 9

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1 , dx = x integral 7x-1 dx = 7 ln|x-1| integral 10(x-1)^2 dx = 10-1 cdot 1x-1 = -10x-1

Passo 10

Somando todas as integrais:
x + 7 ln|x-1| - 10x-1 + C

Resposta

A integral é igual a x + 7, ln|x-1| - dfrac10x-1 + C.

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