Calcule usando frações parciais.
e)

Passo 1

Vamos resolver a integral usando frações parciais. Isso está dentro do estudo de Cálculo Integral, especificamente na técnica de decomposição em frações parciais. Para resolver isso, precisamos entender como dividir a fração quando os graus do numerador e do denominador são iguais e depois decompor a fração resultante.

Passo 2

Primeiro, observamos que o grau do numerador ( ) é igual ao grau do denominador ( ). Nesses casos, precisamos fazer a divisão polinomial antes de usar frações parciais.

Passo 3

Vamos dividir por . Ao fazer isso, encontramos que . Portanto, a fração pode ser escrita como:

Passo 4

Agora, precisamos decompor em frações parciais. Primeiro, fatoramos o denominador: . Então, podemos escrever:

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Expandindo:

Passo 6

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
Para :
Para os termos constantes:

Passo 7

Substituímos os valores de e na decomposição:

Passo 8

Voltando à integral original, temos:

Passo 9

Vamos integrar cada termo separadamente:

Passo 10

Somando todas as integrais:

Resposta

A integral é igual a .

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