Resolva as seguintes integrais: integral(x+1)^2(x-1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral(x+1)^2(x-1)^2 dx. Isso envolve cálculo integral, especificamente a integração de polinômios. Para resolver, vamos precisar expandir os termos (x+1)^2 e (x-1)^2, multiplicá-los, simplificar e então integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir (x+1)^2 e (x-1)^2 usando a fórmula (a pm b)^2 = a^2 pm 2ab + b^2.
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1

Passo 3

Agora, vamos multiplicar essas duas expressões expandidas:
(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1)
Para multiplicar, vamos distribuir cada termo de uma expressão pelos termos da outra:
= x^2(x^2) + x^2(-2x) + x^2(1) + 2x(x^2) + 2x(-2x) + 2x(1) + 1(x^2) + 1(-2x) + 1(1)
= x^4 - 2x^3 + x^2 + 2x^3 - 4x^2 + 2x + x^2 - 2x + 1

Passo 4

Agora, vamos simplificar somando os termos semelhantes:
x^4 + (-2x^3 + 2x^3) + (x^2 - 4x^2 + x^2) + (2x - 2x) + 1
= x^4 + 0x^3 - 2x^2 + 0x + 1
= x^4 - 2x^2 + 1

Passo 5

Com a expressão simplificada, a integral fica:
integral(x^4 - 2x^2 + 1) dx
Agora, vamos integrar termo a termo. A integral de x^n é x^n+1n+1.
integral x^4 dx = x^55
integral -2x^2 dx = -2 cdot x^33 = -2x^33
integral 1 dx = x

Resposta

Juntando tudo, a integral é:
x^55 - 2x^33 + x + C
Onde C é a constante de integração.

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