Calcule: V(3 X-Y2+2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a variância da expressão 3X - Y2 + 2. Aqui estamos trabalhando com estatística, mais precisamente com o conceito de variância de combinações lineares de variáveis aleatórias. Para chegar na resposta, vamos precisar entender como a variância se comporta quando a gente multiplica variáveis por constantes e quando soma variáveis diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma coisa importante sobre variância: quando você adiciona ou subtrai uma constante, a variância não muda. Ou seja, se tivermos V(X + c), onde c é uma constante, isso é igual a V(X). Então, no nosso caso, o “+2” na expressão não vai alterar a variância. Podemos até ignorar esse termo na hora de calcular a variância.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando multiplicamos uma variável aleatória por uma constante. A regra é a seguinte: a variância de aX, onde a é uma constante, é igual a a^2 vezes a variância de X. Em fórmula:
V(aX) = a^2 V(X)
Aplicando isso aos termos da nossa expressão:
  • Para 3X:
    V(3X) = 3^2 V(X) = 9 V(X)
  • Para -Y2:
    V(-Y2) = (12)^2 V(Y) = 14 V(Y)

Passo 4

Agora, precisamos somar essas variâncias. Mas atenção: para somar as variâncias de X e Y, é importante que X e Y sejam independentes. Se forem independentes, a variância da soma é igual à soma das variâncias individuais. Ou seja:
V(3X - Y2) = V(3X) + V(-Y2)
Substituindo os valores que calculamos:
V(3X - Y2) = 9 V(X) + 14 V(Y)
Lembrando que o “+2” não afeta a variância, essa é a nossa resposta final.

Resposta

A variância da expressão 3X - Y2 + 2 é:
V(3X - Y2 + 2) = 9 V(X) + 14 V(Y)

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