Calcule:

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a variância da expressão . Aqui estamos trabalhando com estatística, mais precisamente com o conceito de variância de combinações lineares de variáveis aleatórias. Para chegar na resposta, vamos precisar entender como a variância se comporta quando a gente multiplica variáveis por constantes e quando soma variáveis diferentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma coisa importante sobre variância: quando você adiciona ou subtrai uma constante, a variância não muda. Ou seja, se tivermos , onde é uma constante, isso é igual a . Então, no nosso caso, o “+2” na expressão não vai alterar a variância. Podemos até ignorar esse termo na hora de calcular a variância.

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando multiplicamos uma variável aleatória por uma constante. A regra é a seguinte: a variância de , onde é uma constante, é igual a vezes a variância de . Em fórmula:
Aplicando isso aos termos da nossa expressão:
  • Para :
  • Para :

Passo 4

Agora, precisamos somar essas variâncias. Mas atenção: para somar as variâncias de e , é importante que e sejam independentes. Se forem independentes, a variância da soma é igual à soma das variâncias individuais. Ou seja:
Substituindo os valores que calculamos:
Lembrando que o “+2” não afeta a variância, essa é a nossa resposta final.

Resposta

A variância da expressão é:

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a) .
b) .
c) .
d) .
e) .