Construir a distribuição de probabilidade através de uma tabela das seguintes variáveis: Z= máximo de (X, Y)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir a distribuição de probabilidade da variável Z, que é o máximo entre X e Y. Isso significa que Z = max(X, Y). Para resolver isso, vamos precisar entender sobre variáveis aleatórias e como calcular probabilidades de eventos envolvendo elas. Vamos precisar listar todos os possíveis resultados de X e Y, e ver qual é o maior em cada caso para determinar as probabilidades de Z.

Passo 2

Primeiro, precisamos saber quais são os possíveis valores que X e Y podem assumir e quais são as probabilidades de cada um desses valores. Vamos supor que tanto X quanto Y sejam variáveis aleatórias discretas com os seguintes valores e probabilidades:
  • X pode ser 1, 2 ou 3, com probabilidades P(X=1) = 0.3, P(X=2) = 0.4 e P(X=3) = 0.3.
  • Y pode ser 1, 2 ou 3, com probabilidades P(Y=1) = 0.2, P(Y=2) = 0.5 e P(Y=3) = 0.3.

Passo 3

Agora, vamos listar todas as combinações possíveis dos valores de X e Y e determinar o valor de Z = max(X, Y) para cada combinação. Também vamos calcular a probabilidade de cada combinação acontecer, multiplicando as probabilidades individuais de X e Y.
Aqui está a tabela:
X Y Z = max(X, Y) Probabilidade da combinação
1 1 1 0.3 times 0.2 = 0.06
1 2 2 0.3 times 0.5 = 0.15
1 3 3 0.3 times 0.3 = 0.09
2 1 2 0.4 times 0.2 = 0.08
2 2 2 0.4 times 0.5 = 0.20
2 3 3 0.4 times 0.3 = 0.12
3 1 3 0.3 times 0.2 = 0.06
3 2 3 0.3 times 0.5 = 0.15
3 3 3 0.3 times 0.3 = 0.09

Passo 4

Agora, vamos agrupar as probabilidades de Z para cada valor possível:
  • Para Z = 1: A única combinação que dá 1 é quando X=1 e Y=1. Então, P(Z=1) = 0.06.
  • Para Z = 2: As combinações que dão 2 são quando (X=1, Y=2), (X=2, Y=1) e (X=2, Y=2). Somando as probabilidades: 0.15 + 0.08 + 0.20 = 0.43.
  • Para Z = 3: As combinações que dão 3 são todas as demais. Somando as probabilidades: 0.09 + 0.12 + 0.06 + 0.15 + 0.09 = 0.51.

Resposta

A distribuição de probabilidade da variável Z = max(X, Y) é:
Z P(Z)
1 0.06
2 0.43
3 0.51
Isso significa que Z tem 6% de chance de ser 1, 43% de chance de ser 2 e 51% de chance de ser 3.

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