Calcule o valor aproximado e avalie o erro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o valor aproximado de
e avaliar o erro dessa aproximação. Para isso, vamos usar um pouco de trigonometria e séries de Taylor, que são ferramentas matemáticas que ajudam a aproximar funções complicadas com polinômios mais simples. Vamos precisar entender como a série de Taylor funciona para a função cosseno e aplicar seus primeiros termos para fazer a aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da série de Taylor para a função cosseno em torno de 0. A série de Taylor de
é dada por:
Aqui,
está em radianos e os termos vão alternando sinais e aumentando o expoente e o fatorial no denominador.
Passo 3
Como
é um valor bem pequeno, podemos usar apenas os primeiros termos da série para ter uma boa aproximação. Vamos considerar até o termo de
:
Isso já deve nos dar uma aproximação bem próxima do valor real.
Passo 4
Agora, vamos substituir
por
radianos na nossa aproximação:
Vamos calcular cada termo separadamente:
-
permanece igual. -
-
Passo 5
Agora, somamos esses valores:
Os termos de ordem superior são tão pequenos que praticamente não afetam o resultado nessa precisão.
Passo 6
Para avaliar o erro dessa aproximação, vamos calcular o valor real de
usando uma calculadora:
A nossa aproximação foi
, que está muito próxima do valor real.
Resposta
O valor aproximado de
é
e o erro dessa aproximação é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Calcule os limites
Em relação ao material semicondutor, podemos afirmar que:
a) No material tipo P as lacunas são os portadores majoritários e no material tipo N , os elétrons são os minoritários.
b) Os portadores majoritários são elétrons no material tipo N , e Lacunas no material tipo P .
c) No material tipo N , os elétrons e as lacunas são os portadores majoritários
d) Os portadores majoritários e minoritário dependem da polarização do semicondutor.
a) No material tipo P as lacunas são os portadores majoritários e no material tipo N , os elétrons são os minoritários.
b) Os portadores majoritários são elétrons no material tipo N , e Lacunas no material tipo P .
c) No material tipo N , os elétrons e as lacunas são os portadores majoritários
d) Os portadores majoritários e minoritário dependem da polarização do semicondutor.
Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta de
dado.
Calcule o valor aproximado e avalie o erro.