Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta de x_0 dado. f(x) = cos(3 x), x0 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio de Taylor de ordem 1 para a função em torno de . Isso vai envolver entender um pouco sobre polinômios de Taylor e como eles são construídos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação de uma função por um polinômio, que usa as derivadas da função em um ponto específico, aqui . Para a ordem 1, o polinômio de Taylor fica assim:

Passo 3

Vamos calcular . Substituindo na função:

Passo 4

Agora, precisamos da primeira derivada de . Vamos derivar:

Passo 5

Com a derivada, calculamos :

Passo 6

Agora, substituímos e na fórmula do polinômio de Taylor de ordem 1:

Resposta

O polinômio de Taylor de ordem 1 para em torno de é:

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f(x) = { h x / a, 0 <= x <= a ; h / (a - L) (x - L), a <= x <= L }
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