Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta de
dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o polinômio de Taylor de ordem 1 para a função
em torno de
. Isso vai envolver entender um pouco sobre polinômios de Taylor e como eles são construídos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de Taylor. Ele é uma aproximação de uma função por um polinômio, que usa as derivadas da função em um ponto específico, aqui
. Para a ordem 1, o polinômio de Taylor fica assim:
Passo 3
Vamos calcular
. Substituindo
na função:
Passo 4
Agora, precisamos da primeira derivada de
. Vamos derivar:
Passo 5
Com a derivada, calculamos
:
Passo 6
Agora, substituímos
e
na fórmula do polinômio de Taylor de ordem 1:
Resposta
O polinômio de Taylor de ordem 1 para
em torno de
é:
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(i) Obtenha a série de Fourier de
.