Calcule o valor aproximado e avalie o erro.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o valor aproximado de
e avaliar o erro dessa aproximação. Isso envolve trigonometria, especificamente a aproximação de funções trigonométricas para ângulos muito pequenos. Para isso, vamos usar a aproximação de seno para ângulos próximos de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para ângulos bem pequenos (medidos em radianos), o seno de x pode ser aproximado por x. Isso é uma simplificação que facilita os cálculos. Então, usando essa aproximação:
Substituindo x por 0,002:
Então, o valor aproximado de
é 0,002.
Passo 3
Agora, vamos avaliar o erro dessa aproximação. Para isso, usamos a próxima parte da série de Taylor do seno, que nos dá uma ideia de quão longe a aproximação está do valor real. A série de Taylor do seno é:
Como usamos apenas o primeiro termo (x) para a aproximação, o erro estimado é o próximo termo da série, que é
. Vamos calcular esse erro para x = 0,002:
Então, o erro dessa aproximação é aproximadamente
.
Resposta
O valor aproximado de
é 0,002, com um erro estimado de aproximadamente
.
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Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em volta de
dado.
Calcule o valor aproximado e avalie o erro.
(i) Obtenha a série de Fourier de
.