Calcule o valor aproximado da integral 5,5^4 (e^x/ln(10x)) dx fazendo o uso da integração pela Regra de Simpson com h=0,3. Depois assinale a alternativa que contém o valor mais próximo:
a) 10,5
b) 43,6
c) 28,1
d) 21,2
e) 39,7

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o valor aproximado da integral de $ \frac{e^x}{\ln(10x)} $ de 5 a 5.4 usando a Regra de Simpson com um tamanho de passo $ h = 0,3 $. Para isso, usaremos conhecimentos de cálculo integral e métodos numéricos, especificamente a Regra de Simpson, que nos ajuda a aproximar integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a Regra de Simpson. Ela é uma técnica de integração numérica que aproxima a integral de uma função usando parábolas. A fórmula da Regra de Simpson para $ n $ intervalos (onde $ n $ é par) é:
n
onde $ h = \frac{b - a}{n} $ é o tamanho do passo.

Passo 3

No nosso caso, o intervalo de integração é de $ a = 5 $ até $ b = 5,4 $, e o tamanho do passo é $ h = 0,3 $. Vamos determinar o número de subintervalos $ n $:
a = 5
Como a Regra de Simpson requer que $ n $ seja par, arredondamos para $ n = 2 $.

Passo 4

Com $ n = 2 $ e $ h = 0,3 $, os pontos de avaliação são:
n = 2

Passo 5

Vamos calcular os valores de $ f(x) = \frac{e^x}{\ln(10x)} $ nesses pontos:
f(x) = e^xln(10x)
f(x0) = f(5) = e^5ln(50) approx 148,4133,912 approx 37,96
f(x1) = f(5,3) = e^5,3ln(53) approx 200,4873,970 approx 50,49

Passo 6

Aplicando a Regra de Simpson:
integral5^5,6 e^xln(10x) dx approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + f(x2) ]
Substituindo os valores:
approx 0,33 [ 37,96 + 4 times 50,49 + 66,68 ]
= 0,1 [ 37,96 + 201,96 + 66,68 ]
= 0,1 times 306,6 = 30,66

Resposta

A alternativa que contém o valor mais próximo é a letra c) 28,1.

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