Calcule um valor aproximado para integral0^2 d x1+2 x d x utilizando a regra dos trapézios com 5 subdivisões do intervalo de integração e dê uma estimativa para o erro cometido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral definida: . A gente vai usar a Regra dos Trapézios, que é um método de aproximação para integrais, dividindo o intervalo de integração em partes menores. Além disso, vamos precisar calcular uma estimativa para o erro dessa aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o intervalo de integração, que vai de h = b - an = 2 - 05 = 0,4 até , e o número de subdivisões . A largura de cada subdivisão ( ) é dada por:

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos onde vamos avaliar a função x0 = 0, x1 = 0,4, x2 = 0,8, x3 = 1,2, x4 = 1,6, x5 = 2 . São esses pontos:

Passo 4

Em seguida, calculamos o valor da função em cada um desses pontos:
f(x0) = 11+2(0) = 1
f(x1) = 11+2(0,4) = 11,8 approx 0,5556
f(x2) = 11+2(0,8) = 12,6 approx 0,3846
f(x3) = 11+2(1,2) = 13,4 approx 0,2941
f(x4) = 11+2(1,6) = 14,2 approx 0,2381
f(x5) = 11+2(2) = 15 = 0,2

Passo 5

A Regra dos Trapézios nos diz que a aproximação da integral é dada por:
integrala^b f(x) dx approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + 2f(x4) + f(x5) ]
Substituindo os valores:
approx 0,42 [ 1 + 2(0,5556) + 2(0,3846) + 2(0,2941) + 2(0,2381) + 0,2 ]
= 0,2 [ 1 + 1,1112 + 0,7692 + 0,5882 + 0,4762 + 0,2 ]
= 0,2 times 3,1448 approx 0,62896

Passo 6

Para estimar o erro da Regra dos Trapézios, usamos a fórmula:
E <= (b - a)^312n^2 cdot maxa <= x <= b |f''(x)|
Primeiro, encontramos a segunda derivada de f(x) = 11+2x Rightarrow f'(x) = -2(1+2x)^2 Rightarrow f''(x) = 8(1+2x)^3 :
max |f''(x)| = 8(1+0)^3 = 8
O valor máximo de E <= (2 - 0)^312 times 5^2 times 8 = 8300 times 8 = 64300 approx 0,2133 no intervalo ocorre em :
Agora, calculamos o erro:

Resposta

A aproximação da integral é aproximadamente e o erro estimado é de no m��ximo .

Exercícios relacionados