Calcule um valor aproximado para
utilizando a regra dos trapézios com 5 subdivisões do intervalo de integração e dê uma estimativa para o erro cometido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral definida:
. A gente vai usar a Regra dos Trapézios, que é um método de aproximação para integrais, dividindo o intervalo de integração em partes menores. Além disso, vamos precisar calcular uma estimativa para o erro dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o intervalo de integração, que vai de
até
, e o número de subdivisões
. A largura de cada subdivisão (
) é dada por:
Passo 3
Agora, vamos determinar os pontos onde vamos avaliar a função
. São esses pontos:
Passo 4
Em seguida, calculamos o valor da função em cada um desses pontos:
Passo 5
A Regra dos Trapézios nos diz que a aproximação da integral é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 6
Para estimar o erro da Regra dos Trapézios, usamos a fórmula:
Primeiro, encontramos a segunda derivada de
:
O valor máximo de
no intervalo
ocorre em
:
Agora, calculamos o erro:
Resposta
A aproximação da integral é aproximadamente
e o erro estimado é de no m��ximo
.
Exercícios relacionados
Faça uma aproximação da função
por um polinômio de grau 2 no intervalo
utilizando o métodos dos mínimos quadrados.
Utilizando o método dos mínimos quadrados, faça um ajuste dos dados para uma curva do tipo
;
|
-20 | -15 | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
60 | 30 | 15 | 9 | 5 | 4 | 4 | 1 | 0.25 |
Utilizando a forma de Lagrange, faça uma interpolação polinomial da função
sen
no intervalo
pelos pontos
e
.
Calcule o valor aproximado de
utilizando interpolação linear e dê uma estimativa para o erro cometido sabendo que
.
|
1.1 | 1.9 | 2.7 | 3.2 | 3.4 | 3.7 | 4.2 | 5 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
0.3994 | 0.8658 | 0.5188 | 0.7385 | 0.5536 | 0.5641 | 0.5878 | 0.5279 |