Calcule um valor aproximado para
utilizando a regra dos trapézios com 5 subdivisões do intervalo de integração e dê uma estimativa para o erro cometido.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma integral definida:
. A gente vai usar a Regra dos Trapézios, que é um método de aproximação para integrais, dividindo o intervalo de integração em partes menores. Além disso, vamos precisar calcular uma estimativa para o erro dessa aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o intervalo de integração, que vai de
até
, e o número de subdivisões
. A largura de cada subdivisão (
) é dada por:
Passo 3
Agora, vamos determinar os pontos onde vamos avaliar a função
. São esses pontos:
Passo 4
Em seguida, calculamos o valor da função em cada um desses pontos:
Passo 5
A Regra dos Trapézios nos diz que a aproximação da integral é dada por:
Substituindo os valores:
Passo 6
Para estimar o erro da Regra dos Trapézios, usamos a fórmula:
Primeiro, encontramos a segunda derivada de
:
O valor máximo de
no intervalo
ocorre em
:
Agora, calculamos o erro:
Resposta
A aproximação da integral é aproximadamente
e o erro estimado é de no m��ximo
.