Utilizando o método dos mínimos quadrados, faça um ajuste dos dados para uma curva do tipo ;
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
60 30 15 9 5 4 4 1 0.25

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de dados com valores de e , e o objetivo é ajustar esses dados a uma curva do tipo usando o método dos mínimos quadrados. Isso quer dizer que queremos encontrar os valores de e que fazem a curva se aproximar o máximo possível dos pontos dados. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre transformação de equações e como aplicar o método dos mínimos quadrados.

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação para facilitar os cálculos. Tirando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
Isso transforma a equação original em uma forma linear: . Agora, podemos tratar como , como , e como , ficando:

Passo 3

Com essa forma linear, podemos aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar os melhores valores de e . O método dos mínimos quadrados busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores ajustados pela equação. Para isso, precisamos calcular alguns somatórios:

Passo 4

Vamos calcular esses somatórios com os dados fornecidos. Primeiro, transformamos os valores de aplicando o logaritmo natural:

Passo 5

Agora, vamos somar os valores de , , e :

Passo 6

Agora, usamos as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar e :
Onde (número de pontos).
Substituindo os valores:

Passo 7

Lembrando que , então para encontrar , aplicamos a exponencial:

Passo 8

Agora temos os valores de e que ajustam melhor os dados:
Então, a equação ajustada fica:

Resposta

A curva que melhor ajusta os dados pelo método dos mínimos quadrados é .

Exercícios relacionados

NotasDeAulas [2023] Calcule a integral onde é o segmento de reta de .
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
®
Faça uma aproximação da função por um polinômio de grau 2 no intervalo utilizando o métodos dos mínimos quadrados.
Calcule um valor aproximado para utilizando a regra dos trapézios com 5 subdivisões do intervalo de integração e dê uma estimativa para o erro cometido.