Utilizando o método dos mínimos quadrados, faça um ajuste dos dados para uma curva do tipo
;
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-20 | -15 | -10 | -5 | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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60 | 30 | 15 | 9 | 5 | 4 | 4 | 1 | 0.25 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de dados com valores de
e
, e o objetivo é ajustar esses dados a uma curva do tipo
usando o método dos mínimos quadrados. Isso quer dizer que queremos encontrar os valores de
e
que fazem a curva se aproximar o máximo possível dos pontos dados. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre transformação de equações e como aplicar o método dos mínimos quadrados.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação
para facilitar os cálculos. Tirando o logaritmo natural dos dois lados, temos:
Isso transforma a equação original em uma forma linear:
. Agora, podemos tratar
como
,
como
, e
como
, ficando:
Passo 3
Com essa forma linear, podemos aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar os melhores valores de
e
. O método dos mínimos quadrados busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores ajustados pela equação. Para isso, precisamos calcular alguns somatórios:
Passo 4
Vamos calcular esses somatórios com os dados fornecidos. Primeiro, transformamos os valores de
aplicando o logaritmo natural:
Passo 5
Agora, vamos somar os valores de
,
,
e
:
Passo 6
Agora, usamos as fórmulas do método dos mínimos quadrados para encontrar
e
:
Onde
(número de pontos).
Substituindo os valores:
Passo 7
Lembrando que
, então para encontrar
, aplicamos a exponencial:
Passo 8
Agora temos os valores de
e
que ajustam melhor os dados:
Então, a equação ajustada fica:
Resposta
A curva que melhor ajusta os dados pelo método dos mínimos quadrados é
.
Exercícios relacionados
NotasDeAulas [2023] Calcule a integral
onde
é o segmento de reta de
.
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
®
®
Faça uma aproximação da função
por um polinômio de grau 2 no intervalo
utilizando o métodos dos mínimos quadrados.
Calcule um valor aproximado para
utilizando a regra dos trapézios com 5 subdivisões do intervalo de integração e dê uma estimativa para o erro cometido.