Utilizando a forma de Lagrange, faça uma interpolação polinomial da função f(x) = e^x sen x no intervalo [-pi, 0] pelos pontos x0 = -pi, x1 = -pi/2 e x2 = 0.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos fazer uma interpolação polinomial da função no intervalo utilizando a forma de Lagrange. Para isso, vamos usar os pontos fornecidos: , e . A interpolação polinomial nos ajuda a encontrar um polinômio que passa exatamente por esses pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular os valores da função nos pontos dados.
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :
Então, os pontos de interpolação são:

Passo 3

Agora, vamos utilizar a fórmula do polinômio de interpolação de Lagrange. Para três pontos, o polinômio será de grau 2 e pode ser escrito da seguinte forma:
Onde são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:

Passo 4

Vamos calcular cada um dos polinômios de base , e .
  1. Para :
  2. Para :
  3. Para :

Passo 5

Agora, substituímos os valores de e os polinômios de base na fórmula do polinômio de Lagrange:
Substituindo :

Resposta

O polinômio de interpolação de Lagrange é:

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