Utilizando a forma de Lagrange, faça uma interpolação polinomial da função
sen
no intervalo
pelos pontos
e
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos fazer uma interpolação polinomial da função
no intervalo
utilizando a forma de Lagrange. Para isso, vamos usar os pontos fornecidos:
,
e
. A interpolação polinomial nos ajuda a encontrar um polinômio que passa exatamente por esses pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular os valores da função
nos pontos dados.
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Então, os pontos de interpolação são:
Passo 3
Agora, vamos utilizar a fórmula do polinômio de interpolação de Lagrange. Para três pontos, o polinômio será de grau 2 e pode ser escrito da seguinte forma:
Onde
são os polinômios de base de Lagrange, definidos por:
Passo 4
Vamos calcular cada um dos polinômios de base
,
e
.
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 5
Agora, substituímos os valores de
e os polinômios de base na fórmula do polinômio de Lagrange:
Substituindo
:
Resposta
O polinômio de interpolação de Lagrange é: