Calcule o valor aproximado de utilizando interpolação linear e dê uma estimativa para o erro cometido sabendo que .
1.1 1.9 2.7 3.2 3.4 3.7 4.2 5
0.3994 0.8658 0.5188 0.7385 0.5536 0.5641 0.5878 0.5279

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos o valor aproximado de usando interpolação linear, com base na tabela fornecida. Além disso, precisamos estimar o erro desse cálculo sabendo que a segunda derivada de é . Para resolver isso, vamos precisar identificar os pontos da tabela que estão mais próximos de e entender como funciona a interpolação linear e a estimativa de erro utilizando a segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os dois valores de na tabela que cercam . Olhando a tabela:
3.4 3.7
0.5536 0.5641
Então, os pontos que vamos usar para a interpolação são e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da interpolação linear:
Onde:
Substituindo os valores:
Calculando o numerador e o denominador:
Agora, multiplicamos pelo intervalo de :
Então:

Passo 4

Vamos estimar o erro desse cálculo usando a fórmula do erro na interpolação linear:
Onde é o valor máximo de no intervalo de a , ou seja, de 3.4 a 3.7. Sabemos que:
Como , temos:
No intervalo de 3.4 a 3.7:
Agora, calculando o erro:

Resposta

O valor aproximado de é 0,5571, com um erro estimado de aproximadamente 0,08325.

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Calcule um valor aproximado para utilizando a regra dos trapézios com 5 subdivisões do intervalo de integração e dê uma estimativa para o erro cometido.
Calcule um valor aproximado para utilizando a regra de Simpson com 6 subdivisões do intervalo de integração e dê uma estimativa para o erro cometido.
Mostre que o campo dado pela equação:
é conservativo e calcule um potencial de modo que .