Calcule o valor aproximado do volume de um cubo, se o comprimento de cada aresta varia de 10 cm para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um cubo cujo comprimento de cada aresta muda de 10 cm para 10,1 cm. Nosso objetivo é calcular o volume aproximado desse novo cubo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria sobre volume de cubos e uma técnica de aproximação usando derivadas, que nos ajuda a entender como pequenas mudanças nas medidas afetam o volume.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume inicial do cubo com arestas de 10 cm. A fórmula para o volume
de um cubo é:
onde
é o comprimento da aresta.
Então, substituindo:
Passo 3
Agora, a aresta do cubo aumenta de 10 cm para 10,1 cm. A mudança no comprimento da aresta, que vamos chamar de
, é:
Passo 4
Para achar o aumento aproximado no volume devido a essa mudança, vamos usar a derivada do volume em relação à aresta. A derivada
nos mostra como o volume muda quando a aresta muda:
Isso significa que uma pequena mudança na aresta (
) resultará em uma mudança no volume (
) aproximadamente igual a:
Passo 5
Substituindo os valores que já temos (
e
):
Passo 6
Agora, somamos esse aumento aproximado ao volume inicial para encontrar o volume final:
Resposta
O volume aproximado do cubo com arestas de 10,1 cm é de 1030 cm³.
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Nos problemas 5 a 32, calcule a derivada de cada função com o auxílio da regra da cadeia.
Calcule aproximadamente:
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