Calcule o valor aproximado do volume de um cubo, se o comprimento de cada aresta varia de 10 cm para 10,1 cm

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um cubo cujo comprimento de cada aresta muda de 10 cm para 10,1 cm. Nosso objetivo é calcular o volume aproximado desse novo cubo. Para isso, vamos usar conceitos de geometria sobre volume de cubos e uma técnica de aproximação usando derivadas, que nos ajuda a entender como pequenas mudanças nas medidas afetam o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume inicial do cubo com arestas de 10 cm. A fórmula para o volume de um cubo é:
onde é o comprimento da aresta.
Então, substituindo:

Passo 3

Agora, a aresta do cubo aumenta de 10 cm para 10,1 cm. A mudança no comprimento da aresta, que vamos chamar de , é:

Passo 4

Para achar o aumento aproximado no volume devido a essa mudança, vamos usar a derivada do volume em relação à aresta. A derivada nos mostra como o volume muda quando a aresta muda:
Isso significa que uma pequena mudança na aresta ( ) resultará em uma mudança no volume ( ) aproximadamente igual a:

Passo 5

Substituindo os valores que já temos ( e ):

Passo 6

Agora, somamos esse aumento aproximado ao volume inicial para encontrar o volume final:

Resposta

O volume aproximado do cubo com arestas de 10,1 cm é de 1030 cm³.

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