Sejam
B1={(1,1),(−1,0)} e B2={(−1,1),(2,−3)} bases deR2.De acordo com as bases acima, a matriz M de mudança de base de B1 para B2, [M]B1B2, é?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de mudança de base. O enunciado nos dá duas bases de R²: B₁ = {(1,1), (−1,0)} e B₂ = {(−1,1), (2,−3)}. Nosso objetivo é encontrar a matriz de mudança de base de B₁ para B₂, ou seja, [M]₍B₁→B₂₎. Para isso, vamos precisar entender como representar vetores de uma base na outra e usar um pouco de álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor em uma base para as coordenadas na outra base. No nosso caso, queremos converter de B₁ para B₂.

Passo 3

Para encontrar essa matriz, precisamos expressar cada vetor de B₂ em termos dos vetores de B₁. Ou seja, vamos escrever cada vetor de B₂ como uma combinação linear dos vetores de B₁.

Passo 4

Vamos começar com o primeiro vetor de B₂, que é (-1,1). Queremos encontrar escalares a e b tais que:
(-1,1) = a(1,1) + b(-1,0)
Isso resulta no sistema de equações:
$$
-1 = a - b 1 = a
$$
Resolvendo, temos a = 1 e substituindo na primeira equação: -1 = 1 - b, logo b = 2.

Passo 5

Agora, vamos para o segundo vetor de B₂, que é (2,-3). Queremos encontrar escalares c e d tais que:
(2,-3) = c(1,1) + d(-1,0)
Isso resulta no sistema de equações:
$$
2 = c - d -3 = c
$$
Resolvendo, temos c = -3 e substituindo na primeira equação: 2 = -3 - d, logo d = -5.

Passo 6

Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz de mudança de base [M]₍B₁→B₂₎. Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes das combinações lineares que expressam os vetores de B₂ em termos de B₁. Assim, temos:
[M]B1B2 = 1 & -3 2 & -5

Resposta

A matriz de mudança de base de B₁ para B₂ é:
[M]B1B2 = 1 & -3 2 & -5

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