Sejam
B1={(1,1),(−1,0)} e B2={(−1,1),(2,−3)} bases deR2.De acordo com as bases acima, a matriz M de mudança de base de B1 para B2, [M]B1B2, é?
B1={(1,1),(−1,0)} e B2={(−1,1),(2,−3)} bases deR2.De acordo com as bases acima, a matriz M de mudança de base de B1 para B2, [M]B1B2, é?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de mudança de base. O enunciado nos dá duas bases de R²: B₁ = {(1,1), (−1,0)} e B₂ = {(−1,1), (2,−3)}. Nosso objetivo é encontrar a matriz de mudança de base de B₁ para B₂, ou seja, [M]₍B₁→B₂₎. Para isso, vamos precisar entender como representar vetores de uma base na outra e usar um pouco de álgebra linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz de mudança de base. Ela serve para converter as coordenadas de um vetor em uma base para as coordenadas na outra base. No nosso caso, queremos converter de B₁ para B₂.
Passo 3
Para encontrar essa matriz, precisamos expressar cada vetor de B₂ em termos dos vetores de B₁. Ou seja, vamos escrever cada vetor de B₂ como uma combinação linear dos vetores de B₁.
Passo 4
Vamos começar com o primeiro vetor de B₂, que é (-1,1). Queremos encontrar escalares a e b tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
$$
$$
Resolvendo, temos a = 1 e substituindo na primeira equação: -1 = 1 - b, logo b = 2.
Resolvendo, temos a = 1 e substituindo na primeira equação: -1 = 1 - b, logo b = 2.
Passo 5
Agora, vamos para o segundo vetor de B₂, que é (2,-3). Queremos encontrar escalares c e d tais que:
Isso resulta no sistema de equações:
$$
$$
Resolvendo, temos c = -3 e substituindo na primeira equação: 2 = -3 - d, logo d = -5.
Resolvendo, temos c = -3 e substituindo na primeira equação: 2 = -3 - d, logo d = -5.
Passo 6
Com os coeficientes encontrados, podemos montar a matriz de mudança de base [M]₍B₁→B₂₎. Cada coluna dessa matriz corresponde aos coeficientes das combinações lineares que expressam os vetores de B₂ em termos de B₁. Assim, temos:
Resposta
A matriz de mudança de base de B₁ para B₂ é: