Calcule o valor de cada inegral seguinte:
g=integral0^2 3 raizy+raiz[3]y d y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral definida de . Isso envolve conceitos de cálculo integral, especificamente integração de funções com potências fracionárias. Vamos precisar aplicar as regras de integração para potências de e, em seguida, avaliar os limites de integração de 0 a 2.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar a resolução:
g = integral0^2 3 raizy , dy + integral0^2 raiz[3]y , dy

Passo 3

Vamos resolver a primeira integral: integral y^n , dy = y^n+1n+1 + C .
Lembre-se que integral 3 y^1/2 , dy = 3 cdot y^1/2 + 11/2 + 1 = 3 cdot y^3/23/2 = 3 cdot ( 23 y^3/2 ) = 2 y^3/2 é o mesmo que . A regra de integração para potências de é:
Aplicando isso:

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda integral: integral y^1/3 , dy = y^1/3 + 11/3 + 1 = y^4/34/3 = 34 y^4/3 .
Aqui, é o mesmo que . Aplicando a mesma regra de integração:

Passo 5

Agora, colocamos tudo junto e aplicamos os limites de integração de 0 a 2:
g = [ 2 y^3/2 ]0^2 + [ 34 y^4/3 ]0^2

Passo 6

Vamos calcular cada parte separadamente:
Primeira parte:
2 (2)^3/2 - 2 (0)^3/2 = 2 cdot (2^1 cdot 2^1/2) - 0 = 2 cdot (2 cdot raiz2) = 4 raiz2
Segunda parte:
34 (2)^4/3 - 34 (0)^4/3 = 34 cdot 2^4/3 - 0 = 34 cdot (2^1 cdot 2^1/3) = 34 cdot 2 cdot raiz[3]2 = 32 raiz[3]2

Resposta

Assim, o valor da integral é:
g = 4 raiz2 + 32 raiz[3]2

Exercícios relacionados

Calcule o valor de cada inegral seguinte:
c=integral0^3(1+3 v-5 v^5) d v
Ache o valor medio da função dada em o intervalo dado:
h(v) = 2 v * raiz(v^2 - 9) e [a, b] = [3, 5]
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
l=integral0^raiz3 w raizw^2+1 d w
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
q=integral-2 / 3^pi6-2 / 3 cos (3 t+2) d t