Calcule o valor de cada inegral seguinte:
l=integral0^raiz3 w raizw^2+1 d w

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular o valor da integral:
l = integral0^raiz3 w raizw^2+1 , dw
Aqui, estamos lidando com Cálculo Integral, mais especificamente com uma integração que envolve substituição. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição (também conhecida como troca de variável).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos substituir por uma nova variável para simplificar o cálculo. Observando a expressão dentro da raiz, temos u = w^2 + 1 . Então, vamos fazer:

Passo 3

Agora, precisamos expressar dudw = 2w em termos de du = 2w , dw . Para isso, vamos derivar w , dw = du2 em relação a :
Isso nos dá:
Então, isolando :

Passo 4

Vamos substituir l = integral0^raiz3 w raizw^2+1 , dw = integralu(0)^u(raiz3) raizu cdot du2 e na integral original:

Passo 5

Simplificando a integral:
l = 12 integralu(0)^u(raiz3) u^1/2 , du

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^1/2 , du = u^3/23/2 = 23 u^3/2 :
l = 12 cdot 23 u^3/2 = 13 u^3/2
Portanto,

Passo 7

Voltando à variável original l = 13 (w^2 + 1)^3/2 :
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de integração de a .

Passo 8

Primeiro, calculamos para w^2 + 1 = (raiz3)^2 + 1 = 3 + 1 = 4 :
(4)^3/2 = (2^2)^3/2 = 2^3 = 8
Então,
w^2 + 1 = 0^2 + 1 = 1
Agora, para (1)^3/2 = 1 :
E,

Passo 9

Subtraindo os valores nos limites:
l = 13 (8 - 1) = 13 times 7 = 73

Resposta

O valor da integral é .

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g=integral0^2 3 raizy+raiz[3]y d y
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