Calcule o valor de cada inegral seguinte:
Q=integral-1 1(3 v+32) e^v^2+v-1 d v

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcular:
Q = integral-1^1 (3v + 32) e^v^2 + v -1 , dv
Aqui estamos trabalhando com cálculo de integrais, mais especificamente, integrais envolvendo funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição, que nos ajuda a simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a parte mais complicada da integral, que é o expoente da função exponencial: v^2 + v - 1. Vamos chamar essa expressão de u para facilitar:
u = v^2 + v - 1
Então, a derivada de u em relação a v é:
dudv = 2v + 1
Isso significa que:
du = (2v + 1) dv

Passo 3

Agora, vamos ver se conseguimos reescrever a integral em termos de u. Olhando para o nosso integrando original:
(3v + 32) e^v^2 + v -1
Perceba que 3v + 32 pode ser reescrito como:
32(2v + 1)
Então, nossa integral fica:
Q = integral-1^1 32(2v + 1) e^u dv

Passo 4

Substituindo du = (2v + 1) dv na integral, temos:
Q = 32 integral e^u du
Essa é uma integral mais simples de resolver, pois a integral de e^u em relação a u é simplesmente e^u.

Passo 5

Então, integramos:
Q = 32 e^u + C
Onde C é a constante de integração. Mas como estamos calculando uma integral definida de -1 a 1, vamos substituir os limites de integração.

Passo 6

Lembrando que u = v^2 + v - 1, substituímos de volta:
Q = 32 [ e^v^2 + v -1 ]-1^1
O que significa que precisamos calcular e^v^2 + v -1 nos limites de v = 1 e v = -1.

Passo 7

Calculando para v = 1:
e^(1)^2 + 1 - 1 = e^1 + 1 - 1 = e^1 = e
E para v = -1:
e^(-1)^2 + (-1) - 1 = e^1 - 1 - 1 = e^-1 = 1e

Resposta

Substituindo os valores encontrados, temos:
Q = 32 ( e - 1e ) = 32 ( e - e^-1 )

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