Calcule o valor de cada inegral seguinte:
t=integral0^pi(2 w^2+2) cos (w^3+3 w) d w

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral definida:
t = integral0^pi (2w^2 + 2) cos(w^3 + 3w) , dw
Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais, especificamente o método de substituição.

Passo 2

Observamos que dentro do cosseno temos a expressão u = w^3 + 3w . Isso sugere que podemos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos definir:
dudw = 3w^2 + 3 = 3(w^2 + 1)
Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 3

Com isso, podemos resolver para dw = du3(w^2 + 1) :
t = integral0^pi (2w^2 + 2) cos(u) cdot du3(w^2 + 1)
Vamos substituir e na integral original:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral. Note que:
2w^2 + 2 = 2(w^2 + 1)
Substituindo isso na integral:
t = integral0^pi 2(w^2 + 1)3(w^2 + 1) cos(u) , du = integral0^pi 23 cos(u) , du

Passo 5

Agora, a integral está bem mais simples:
t = 23 integral0^pi cos(u) , du
Sabemos que a integral de integral cos(u) , du = sin(u) + C é , então:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando os limites de integração:
t = 23 [ sin(u) ]0^pi
Precisamos agora substituir u = 0^3 + 3 times 0 = 0 pelos limites u = pi^3 + 3pi e .
Para :
Para :

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão:
t = 23 [ sin(pi^3 + 3pi) - sin(0) ]
Sabemos que t = 23 sin(pi^3 + 3pi) , então:

Resposta

O valor da integral é:
t = 23 sin(pi^3 + 3pi)

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