Calcule o valor de cada inegral seguinte:
w=integral-3^4|z-1| d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral definida . Aqui, estamos lidando com a matéria de Cálculo, especificamente com integrais de funções absolutas. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta e dividir a integral em partes que sejam mais fáceis de calcular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função . O valor absoluto faz com que a função mude de comportamento dependendo de quando é positivo ou negativo. Precisamos encontrar o ponto onde para saber onde essa mudança acontece.
Resolvendo , temos . Isso significa que em , a expressão dentro do valor absoluto muda de sinal.

Passo 3

Agora, dividimos a integral em duas partes com base no ponto w = integral-3^1 |z - 1| , dz + integral1^4 |z - 1| , dz :
  1. De até
  2. De até
Então, podemos escrever:

Passo 4

Vamos simplificar os valores absolutos em cada intervalo:
  • Para w = integral-3^1 (1 - z) , dz + integral1^4 (z - 1) , dz de -3 a 1: Como é menor que 0,
  • Para de 1 a 4: Aqui, é maior ou igual a 0, então
Substituindo na integral:

Passo 5

Vamos calcular a primeira integral [ z - z^22 ]-3^1 = (1 - 1^22) - (-3 - (-3)^22) = (1 - 0,5) - (-3 - 4,5) = 0,5 - (-7,5) = 8 :
A antiderivada de é . Avaliando de -3 a 1:

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda integral [ z^22 - z ]1^4 = (162 - 4) - (12 - 1) = (8 - 4) - (0,5 - 1) = 4 - (-0,5) = 4,5 :
A antiderivada de é . Avaliando de 1 a 4:

Passo 7

Finalmente, somamos os resultados das duas integrais:
w = 8 + 4,5 = 12,5

Resposta

O valor da integral é .

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