Calcule o valor de cada inegral seguinte:
L=integral1e^e ln ^2(y)y d y

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo integral, mais especificamente envolvendo integrais que utilizam substituição. Para resolver, vamos precisar aplicar a técnica de substituição adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir .

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de dt = 1y , dy Rightarrow dy = y , dt em relação a :
Isso nos ajuda a substituir na integral original.

Passo 4

Vamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição feita. Quando t = ln(1e) = -1 :
t = ln(e) = 1
E quando :
Portanto, os novos limites são de a .

Passo 5

Substituindo todas as partes na integral original, temos:
L = integral-1^1 t^2y cdot y , dt = integral-1^1 t^2 , dt
Note que se cancela, simplificando a integral.

Passo 6

Agora, resolveremos a integral simples:
integral t^2 , dt = t^33 + C
Onde é a constante de integração. Contudo, como estamos calculando uma integral definida, calculamos apenas os valores nos limites.

Passo 7

Aplicando os limites de L = [ t^33 ]-1^1 = ( 1^33 ) - ( (-1)^33 ) = 13 - ( -13 ) = 23 e :

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcule o valor de cada inegral seguinte:
G=integral-1^1 tt^2+4 d t
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
z=integral-1^3(u+2) raizu+1 d u
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
S=integral0^1 e^2 x(e^2 x+1)^3 d x
Encontre a expressão da derivada seguinte
dd y integraly^2 ln (e^2 t+raizt) d t