Encontre a expressão da derivada seguinte
dd y integraly^2 ln (e^2 t+raizt) d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar a derivada da seguinte expressão:
dd y integraly^2 ln (e^2 t+raizt) d t
Aqui, estamos lidando com cálculo de derivadas e integrais, mais especificamente usando uma regra que relaciona derivadas com integrais que têm limites variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender a Regra de Leibniz para derivadas de integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra de Leibniz. Ela nos permite encontrar a derivada de uma integral cujo limite inferior ou superior (ou ambos) são funções de dd y integrala(y)^b(y) f(t) dt = f(b(y)) cdot b'(y) - f(a(y)) cdot a'(y) . A fórmula geral é:
Isso significa que, se temos uma integral com limites que dependem de , a derivada vai considerar como o valor da função se comporta nos limites multiplicado pela derivada desses limites.

Passo 3

No nosso caso, a integral é de f(t) = ln (e^2 t+raizt) até dd y integraly^2 ln (e^2 t+raizt) d t = f(2) cdot dd y(2) - f(y) cdot dd y(y) , ou seja, e . Vamos identificar :
Agora, aplicando a Regra de Leibniz:

Passo 4

Vamos calcular cada termo:
  1. dd y integraly^2 ln (e^2 t+raizt) d t = ln (e^2 cdot 2+raiz2) cdot 0 - ln (e^2 y+raizy) cdot 1 porque 2 é constante.
  2. 0 - ln (e^2 y+raizy) = -ln (e^2 y+raizy) porque a derivada de em relação a é 1.
Substituindo esses valores:
Simplificando:

Resposta

A derivada é:
-ln (e^2 y+raizy)

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Calcule o valor de cada inegral seguinte:
S=integral0^1 e^2 x(e^2 x+1)^3 d x
Calcule o valor de cada inegral seguinte:
L=integral1e^e ln ^2(y)y d y
Encontre a expressão da derivada seguinte
dd u integral0^u^2 2raiz1+z^2 d z
Ache o valor medio da função dada em o intervalo dado:
f(t) = 4 - t^2 e [a, b]=[-2,0]