Calcule o valor de cada inegral seguinte:
S=integral0^1 e^2 x(e^2 x+1)^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral . Isso está dentro do conteúdo de cálculo integral, especificamente envolvendo funções exponenciais e frações racionais. Vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para simplificar essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para simplificar a expressão. Vamos deixar dudx = 2e^2x . Então, precisamos encontrar a derivada de em relação a :
Isso significa que , ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos mudar os limites da integral de acordo com a substituição:
  • Quando , .
  • Quando , .

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
S = integral2^e^2 + 1 du2u^3
Isso simplifica para:
S = 12 integral2^e^2 + 1 u^-3 , du

Passo 5

Vamos integrar integral u^-3 , du = u^-2-2 = -12u^2 :
S = 12 [ -12u^2 ]2^e^2 + 1 = -14 [ 1u^2 ]2^e^2 + 1
Então, substituindo de volta:

Passo 6

Aplicando os limites:
S = -14 ( 1(e^2 + 1)^2 - 12^2 ) = -14 ( 1(e^2 + 1)^2 - 14 )

Passo 7

Simplificando a expressão:
S = -14 ( 1(e^2 + 1)^2 - 14 ) = 14 ( 14 - 1(e^2 + 1)^2 )

Resposta

O valor da integral é:
S = 14 ( 14 - 1(e^2 + 1)^2 )

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L=integral1e^e ln ^2(y)y d y
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dd y integraly^2 ln (e^2 t+raizt) d t
Encontre a expressão da derivada seguinte
dd u integral0^u^2 2raiz1+z^2 d z