Calcule o valor da derivada da função no ponto
. Assuma
definida no ramo principal. Justifique sua resposta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função
no ponto
. Isso está no campo da análise complexa, especificamente lidando com funções de números complexos. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções do tipo
, onde
também pode ser um número complexo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da derivada de uma função potência no contexto complexo. Se temos
, onde
é uma constante complexa, a derivada
é dada por:
Essa é uma extensão da regra de derivação de potências que conhecemos do cálculo real.
Passo 3
Aplicando essa fórmula à nossa função
, identificamos que
. Então, a derivada será:
Passo 4
Agora, precisamos calcular
. Substituindo
na expressão que encontramos:
Para continuar, precisamos avaliar
.
Passo 5
Vamos simplificar
. Sabemos que
(pois
). Então:
Aqui, usamos a propriedade que
e que
.
Passo 6
Voltando à expressão da derivada:
Podemos deixar assim, ou multiplicar para separar a parte real e imaginária:
Resposta
A derivada da função no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Seja
. Utilize duas diferentes maneiras de calcular
Comente o resultado.
Encontre
, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
h)
h)
Calcule todas os valores de
que satisfazem a expressão
Justifique sua resposta