Calcule o valor da derivada da função no ponto z = i. Assuma f(z) = z^(1 - 2i) definida no ramo principal. Justifique sua resposta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a derivada da função no ponto . Isso está no campo da análise complexa, especificamente lidando com funções de números complexos. Para resolver, vamos precisar entender como derivar funções do tipo , onde também pode ser um número complexo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da derivada de uma função potência no contexto complexo. Se temos , onde é uma constante complexa, a derivada é dada por:
Essa é uma extensão da regra de derivação de potências que conhecemos do cálculo real.

Passo 3

Aplicando essa fórmula à nossa função , identificamos que . Então, a derivada será:

Passo 4

Agora, precisamos calcular . Substituindo na expressão que encontramos:
Para continuar, precisamos avaliar .

Passo 5

Vamos simplificar . Sabemos que (pois ). Então:
Aqui, usamos a propriedade que e que .

Passo 6

Voltando à expressão da derivada:
Podemos deixar assim, ou multiplicar para separar a parte real e imaginária:

Resposta

A derivada da função no ponto é .

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