Encontre
, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
h)
h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial
e a curva
estão definidos. Isso envolve o estudo de integrais de linha de campos vetoriais, onde vamos parametrizar a curva e substituir tudo na integral para resolver. Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e o conceito de produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva
. A curva é dada por
, onde
varia de
a
. Isso significa que à medida que
varia, a curva descreve um movimento no espaço 3D com componentes nas direções
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
. Isso nos dará o vetor tangente à curva em cada ponto, necessário para calcular
.
Calculando:
Passo 4
Em seguida, substituímos os componentes da parametrização
no campo vetorial
. Assim, temos:
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar
:
Passo 6
Finalmente, configuramos e calculamos a integral de
a
:
Vamos integrar termo a termo.
Passo 7
Vamos resolver cada parte da integral separadamente:
-
Usamos integração por partes:Então:Avaliado de
a : -
Fazemos a substituição:Então:Avaliado de
a : -
(\int_{0}^{4\pi} \frac{2t}{3} , dt = \frac{2}{3} \int_{0}^{4\pi} t , dt = \frac{2}{3} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{4\pi} = \frac{2}{3} \left( \frac{(4\pi)^2}{2} - 0 \right) = \frac{2}{3} \cdot 8\pi^2 = \frac{16\pi^2}{3}
]
Passo 8
Agora, somamos os resultados das integrais:
Resposta
A integral de linha é igual a
.
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Calcule o valor da derivada da função no ponto
. Assuma
definida no ramo principal. Justifique sua resposta
Seja
. Utilize duas diferentes maneiras de calcular
Comente o resultado.
Calcule todas os valores de
que satisfazem a expressão
Justifique sua resposta
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e
© .
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