Encontre , onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha , onde o campo vetorial e a curva estão definidos. Isso envolve o estudo de integrais de linha de campos vetoriais, onde vamos parametrizar a curva e substituir tudo na integral para resolver. Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e o conceito de produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva . A curva é dada por , onde varia de a . Isso significa que à medida que varia, a curva descreve um movimento no espaço 3D com componentes nas direções , e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a , que é . Isso nos dará o vetor tangente à curva em cada ponto, necessário para calcular .
Calculando:

Passo 4

Em seguida, substituímos os componentes da parametrização no campo vetorial . Assim, temos:

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar :

Passo 6

Finalmente, configuramos e calculamos a integral de a :
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Vamos resolver cada parte da integral separadamente:
  1. Usamos integração por partes:
    Então:
    Avaliado de a :
  2. Fazemos a substituição:
    Então:
    Avaliado de a :
  3. (\int_{0}^{4\pi} \frac{2t}{3} , dt = \frac{2}{3} \int_{0}^{4\pi} t , dt = \frac{2}{3} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{4\pi} = \frac{2}{3} \left( \frac{(4\pi)^2}{2} - 0 \right) = \frac{2}{3} \cdot 8\pi^2 = \frac{16\pi^2}{3}
    ]

Passo 8

Agora, somamos os resultados das integrais:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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