Encontre integralC F cdot d s, onde o campo vetorial e a curva são dadas abaixo:
h) F=3 z i+y^2 j+6 z k, r(t)=(cos t, sin t, t / 3), 0 <= t <= 4 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha integralC F cdot d s, onde o campo vetorial F e a curva C estão definidos. Isso envolve o estudo de integrais de linha de campos vetoriais, onde vamos parametrizar a curva e substituir tudo na integral para resolver. Vamos precisar usar cálculo vetorial, especificamente a parametrização de curvas e o conceito de produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parametrização da curva C. A curva é dada por r(t) = (cos t, sin t, t / 3), onde t varia de 0 a 4pi. Isso significa que à medida que t varia, a curva descreve um movimento no espaço 3D com componentes nas direções x, y e z.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é r'(t). Isso nos dará o vetor tangente à curva em cada ponto, necessário para calcular ds.
Calculando:
r'(t) = ( ddt cos t, ddt sin t, ddt ( t3 ) ) = (-sin t, cos t, 13)

Passo 4

Em seguida, substituímos os componentes da parametrização r(t) no campo vetorial F. Assim, temos:
F(r(t)) = 3 ( t3 ) i + (sin t)^2 j + 6 ( t3 ) k = t i + sin^2 t j + 2t k

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar F(r(t)) cdot r'(t):
F(r(t)) cdot r'(t) = (t)(-sin t) + (sin^2 t)(cos t) + (2t)( 13 ) = -t sin t + sin^2 t cos t + 2t3

Passo 6

Finalmente, configuramos e calculamos a integral de t=0 a t=4pi:
integral0^4pi ( -t sin t + sin^2 t cos t + 2t3 ) dt
Vamos integrar termo a termo.

Passo 7

Vamos resolver cada parte da integral separadamente:
  1. u = -t Rightarrow du = -dt
    Usamos integração por partes:
    dv = sin t , dt Rightarrow v = -cos t
    -t (-cos t) - integral -cos t (-dt) = t cos t - integral cos t , dt = t cos t - sin t
    Então:
    0
    Avaliado de 4pi a (4pi cos 4pi - sin 4pi) - (0 cdot cos 0 - sin 0) = 4pi (1) - 0 - 0 + 0 = 4pi :
    u = sin t Rightarrow du = cos t , dt
  2. integral u^2 , du = u^33 = sin^3 t3
    Fazemos a substituição:
    0
    Então:
    4pi
    Avaliado de sin^3 4pi3 - sin^3 03 = 0 - 0 = 0 a :
  3. (\int_{0}^{4\pi} \frac{2t}{3} , dt = \frac{2}{3} \int_{0}^{4\pi} t , dt = \frac{2}{3} \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{4\pi} = \frac{2}{3} \left( \frac{(4\pi)^2}{2} - 0 \right) = \frac{2}{3} \cdot 8\pi^2 = \frac{16\pi^2}{3}
    ]

Passo 8

Agora, somamos os resultados das integrais:
4pi + 0 + 16pi^23 = 4pi + 16pi^23

Resposta

A integral de linha é igual a .

Exercícios relacionados