Seja . Utilize duas diferentes maneiras de calcular Comente o resultado.

Passo 1

Então, o exercício pede para calcular a integral de no caminho de até no plano complexo. Vamos usar duas maneiras diferentes para resolver isso. Para isso, precisamos saber sobre integrais de funções complexas e como parametrizar caminhos no plano.

Passo 2

Primeira maneira: Parametrizando o caminho diretamente.
Vamos escolher um caminho simples que vai de até . Um jeito fácil é seguir uma linha reta. Para isso, precisamos expressar em termos de um parâmetro que varia de 0 a 1.

Passo 3

Definimos , onde varia de 0 a 1. Derivando em relação a , temos .
Agora, calculamos :
Substituindo tudo na integral:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, calculamos :
Então, :
Como , temos:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
Multiplicando os termos:
Somando tudo:
Então, a integral fica:

Passo 6

Segunda maneira: Separando em partes real e imaginária.
Escrevemos , então . Então:
Separando em partes real e imaginária:
á
A integral pode ser escrita como:
Vamos escolher um caminho simples, por exemplo, primeiro de a , depois de a .
No primeiro segmento, de a :
A integral nesse segmento:
No segundo segmento, de a :
A integral nesse segmento:

Resposta

Somando os dois segmentos, a integral total é:

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h)