Seja . Utilize duas diferentes maneiras de calcular Comente o resultado.
Passo 1
Então, o exercício pede para calcular a integral de no caminho de até no plano complexo. Vamos usar duas maneiras diferentes para resolver isso. Para isso, precisamos saber sobre integrais de funções complexas e como parametrizar caminhos no plano.
Passo 2
Primeira maneira: Parametrizando o caminho diretamente.
Vamos escolher um caminho simples que vai de até . Um jeito fácil é seguir uma linha reta. Para isso, precisamos expressar em termos de um parâmetro que varia de 0 a 1.
Passo 3
Definimos , onde varia de 0 a 1. Derivando em relação a , temos .
Agora, calculamos :
Substituindo tudo na integral:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, calculamos i z(t) = i(i + t(1 - i)) = i^2 + i t (1 - i) = -1 + it (1 - i) :
- i + t(1 + i) + (-1 + it(1 - i)) = -1 - i + t(1 + i + i - i^2)
Então, -1 - i + t(2 + 2i) :
Como , temos:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
integral0^1 (-1 -i + t(2 + 2i)) (1 - i) dt
Multiplicando os termos:
(-1)(1 - i) = -1 + i (-i)(1 - i) = -i + i^2 = -i -1 t(2)(1 - i) = 2t - 2it t(2i)(1 - i) = 2i t - 2i^2 t = 2i t + 2t