Seja f(z)=barz+i z. Utilize duas diferentes maneiras de calcular integrali^1 f(z) d z Comente o resultado.

Passo 1

Então, o exercício pede para calcular a integral de no caminho de até no plano complexo. Vamos usar duas maneiras diferentes para resolver isso. Para isso, precisamos saber sobre integrais de funções complexas e como parametrizar caminhos no plano.

Passo 2

Primeira maneira: Parametrizando o caminho diretamente.
Vamos escolher um caminho simples que vai de até . Um jeito fácil é seguir uma linha reta. Para isso, precisamos expressar em termos de um parâmetro que varia de 0 a 1.

Passo 3

Definimos z(t) = -i + t(1 + i) , onde integrali^1 f(z) dz = integral0^1 [z(t) + i z(t)] dz = integral0^1 [-i + t(1 + i) + i(i + t(1 - i))] (1 - i) dt varia de 0 a 1. Derivando em relação a , temos .
Agora, calculamos :
Substituindo tudo na integral:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, calculamos i z(t) = i(i + t(1 - i)) = i^2 + i t (1 - i) = -1 + it (1 - i) :
- i + t(1 + i) + (-1 + it(1 - i)) = -1 - i + t(1 + i + i - i^2)
Então, -1 - i + t(2 + 2i) :
Como , temos:

Passo 5

Substituindo de volta na integral:
integral0^1 (-1 -i + t(2 + 2i)) (1 - i) dt
Multiplicando os termos:
(-1)(1 - i) = -1 + i (-i)(1 - i) = -i + i^2 = -i -1 t(2)(1 - i) = 2t - 2it t(2i)(1 - i) = 2i t - 2i^2 t = 2i t + 2t
Somando tudo:
-2 + 0i + 4t
Então, a integral fica:
integral0^1 (-2 + 4t) dt = [-2t + 2t^2]0^1 = (-2 + 2) - 0 = 0

Passo 6

Segunda maneira: Separando em partes real e imaginária.
Escrevemos f(z) = z + i z = (x - i y) + i(x + i y) = x - i y + i x - y , então Parte real: x - y Parte imaginária: -y + x . Então:
integral (x - y) dx + (x - y) i dy
Separando em partes real e imaginária:
x = 0 e y varia de 1 a 0 dx = 0 e dy = -dt á
A integral integral1^0 (0 - y) cdot 0 + (0 - y)i cdot (-1) dy = integral1^0 y i dy = - integral0^1 y i dy = - i cdot 12 = - i2 pode ser escrita como:
y = 0 e x varia de 0 a 1 dx = dt e dy = 0
Vamos escolher um caminho simples, por exemplo, primeiro de integral0^1 (x - 0) dx + (x - 0)i cdot 0 = integral0^1 x dx = 12 a , depois de a .
No primeiro segmento, de a :
A integral nesse segmento:
No segundo segmento, de a :
A integral nesse segmento:

Resposta

Somando os dois segmentos, a integral total é:
- i2 + 12 = 1 - i2

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