Seja . Utilize duas diferentes maneiras de calcular Comente o resultado.
Passo 1
Então, o exercício pede para calcular a integral de no caminho de até no plano complexo. Vamos usar duas maneiras diferentes para resolver isso. Para isso, precisamos saber sobre integrais de funções complexas e como parametrizar caminhos no plano.
Passo 2
Primeira maneira: Parametrizando o caminho diretamente.
Vamos escolher um caminho simples que vai de até . Um jeito fácil é seguir uma linha reta. Para isso, precisamos expressar em termos de um parâmetro que varia de 0 a 1.
Passo 3
Definimos , onde varia de 0 a 1. Derivando em relação a , temos .
Agora, calculamos :
Substituindo tudo na integral:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Primeiro, calculamos :
Então, :
Como , temos:
Passo 5
Substituindo de volta na integral:
Multiplicando os termos:
Somando tudo:
Então, a integral fica:
Passo 6
Segunda maneira: Separando em partes real e imaginária.
Escrevemos , então . Então:
Separando em partes real e imaginária:
á
A integral pode ser escrita como:
Vamos escolher um caminho simples, por exemplo, primeiro de a , depois de a .