Calcule o valor de n para um elétron confinado em uma distância de 12,1 nm e em temperatura ambiente T=300 K.

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra calcular o valor de para um elétron que está confinado numa distância de (nanômetros) e numa temperatura ambiente de . A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, mais especificamente o conceito de quantização de energia para partículas confinadas. Vamos precisar usar a fórmula da energia dos níveis quânticos e relacionar com a energia térmica para encontrar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, um elétron confinado numa “caixinha” de tamanho En = n^2 pi^2 hbar^22mL^2 (nesse caso, ) tem níveis de energia discretos, dados por:
Aqui:
  • é a energia do nível quântico .
  • é o número quântico principal que queremos encontrar.
  • é a constante de Planck reduzida ( ).
  • é a massa do elétron.
  • é a largura da caixa (a distância de confinamento).

Passo 3

A temperatura nos dá uma ideia da energia térmica disponível, que é dada por:
kB T
Onde:
  • n^2 pi^2 hbar^22mL^2 = kB T é a constante de Boltzmann ( ).
  • é a temperatura em Kelvin ( ).
Queremos encontrar o nível quântico onde a energia do elétron é aproximadamente igual à energia térmica . Então, igualamos as duas expressões:

Passo 4

Vamos isolar n^2 = 2mL^2 kB Tpi^2 hbar^2 nessa equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por n = raiz2mL^2 kB Tpi^2 hbar^2 :
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar :

Passo 5

Vamos agora substituir os valores numéricos:
  • n = raiz2 times 9,11 times 10^-31 times (12,1 times 10^-9)^2 times 1,38 times 10^-23 times 300pi^2 times (1,054 times 10^-34)^2 (massa do elétron)
Substituindo na fórmula:

Passo 6

Vamos calcular passo a passo:
  1. Calculando o numerador:
    2 times 9,11 times 10^-31 times (12,1 times 10^-9)^2 times 1,38 times 10^-23 times 300 = 2 times 9,11 times 10^-31 times 1,4641 times 10^-16 times 1,38 times 10^-23 times 300
    = 2 times 9,11 times 1,4641 times 1,38 times 300 times 10^-31-16-23
    = 2 times 9,11 times 1,4641 times 1,38 times 300 times 10^-70
    approx 2 times 9,11 times 1,4641 times 1,38 times 300 times 10^-70 approx 1,11 times 10^-66
  2. Calculando o denominador:
    pi^2 times (1,054 times 10^-34)^2 = pi^2 times 1,110 times 10^-68 approx 9,87 times 1,110 times 10^-68 approx 1,10 times 10^-67
  3. Dividindo numerador pelo denominador:
    1,11 times 10^-661,10 times 10^-67 approx 10,1
  4. Tirando a raiz quadrada:
    n = raiz10,1 approx 3,18

Resposta

O valor de é aproximadamente 3,18.

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