Calcule o valor de
para um elétron confinado em uma distância de
e em temperatura ambiente
.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra calcular o valor de
para um elétron que está confinado numa distância de
(nanômetros) e numa temperatura ambiente de
. A matéria envolvida aqui é a mecânica quântica, mais especificamente o conceito de quantização de energia para partículas confinadas. Vamos precisar usar a fórmula da energia dos níveis quânticos e relacionar com a energia térmica para encontrar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em mecânica quântica, um elétron confinado numa “caixinha” de tamanho
(nesse caso,
) tem níveis de energia discretos, dados por:
Aqui:
-
é a energia do nível quântico . -
é o número quântico principal que queremos encontrar. -
é a constante de Planck reduzida ( ). -
é a massa do elétron. -
é a largura da caixa (a distância de confinamento).
Passo 3
A temperatura nos dá uma ideia da energia térmica disponível, que é dada por:
Onde:
-
é a constante de Boltzmann ( ). -
é a temperatura em Kelvin ( ).
Queremos encontrar o nível quântico
onde a energia do elétron
é aproximadamente igual à energia térmica
. Então, igualamos as duas expressões:
Passo 4
Vamos isolar
nessa equação. Primeiro, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Passo 5
Vamos agora substituir os valores numéricos:
-
(massa do elétron) -
-
-
-
Substituindo na fórmula:
Passo 6
Vamos calcular passo a passo:
-
Calculando o numerador:
-
Calculando o denominador:
-
Dividindo numerador pelo denominador:
-
Tirando a raiz quadrada:
Resposta
O valor de
é aproximadamente 3,18.