Um elétron, com a energia em repouso
, está com a velocidade
. Achar
(a) a sua energia total,
(b) a sua energia cinética,
© o seu momento e
(d) o comprimento de onda de de Broglie deste elétron.
O elétron colide com uma partícula estacionária de massa em repouso
. Depois da colisão, as duas partículas ficam reunidas. Ache
(e) o momento inicial do sistema,
(f) a velocidade final do sistema de duas partículas e
(g) a massa em repouso do sistema de duas partículas.
(a) a sua energia total,
(b) a sua energia cinética,
© o seu momento e
(d) o comprimento de onda de de Broglie deste elétron.
O elétron colide com uma partícula estacionária de massa em repouso
(e) o momento inicial do sistema,
(f) a velocidade final do sistema de duas partículas e
(g) a massa em repouso do sistema de duas partículas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um elétron com uma certa energia e velocidade, e pede para a gente calcular várias coisas relacionadas à física relativística, como energia total, energia cinética, momento, comprimento de onda de Broglie, e depois analisar uma colisão envolvendo o elétron. Para isso, vamos precisar usar conceitos de relatividade especial, como a energia total
, energia de repouso
, fator de Lorentz
, momento
, e as fórmulas de conservação de momento e energia. Vamos passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Calcular a energia total do elétron
Primeiro, vamos lembrar que a energia total
de uma partícula em relatividade é dada por:
Onde:
-
é a energia de repouso, -
é o fator de Lorentz, -
é a velocidade da partícula, -
é a velocidade da luz.
No nosso caso,
e
. Vamos calcular
:
Agora, multiplicamos
pela energia de repouso:
Passo 3
Parte (b): Calcular a energia cinética do elétron
A energia cinética
em relatividade é a diferença entre a energia total
e a energia de repouso
:
Usando os valores que já calculamos:
Passo 4
Parte ©: Calcular o momento do elétron
O momento
em relatividade é dado por:
Onde
é a massa de repouso. Mas primeiro, podemos relacionar energia e momento usando:
Resolvendo para
:
Substituindo os valores:
Convertendo para unidades mais comuns:
Passo 5
Parte (d): Calcular o comprimento de onda de de Broglie do elétron
O comprimento de onda de de Broglie
é dado por:
Onde
é a constante de Planck
.
Usando
:
Sabendo que
é a unidade de comprimento (metros):
Passo 6
Parte (e): Calcular o momento inicial do sistema
Antes da colisão, temos o elétron em movimento e a outra partícula estacionária. O momento inicial do sistema é apenas o momento do elétron, já que a outra partícula está parada.
Já calculamos
, então:
Passo 7
Parte (f): Calcular a velocidade final do sistema após a colisão
Após a colisão, as duas partículas ficam reunidas, então podemos usar a conservação do momento:
A energia total após a colisão também será conservada, mas vamos simplificar usando a conservação do momento para encontrar a velocidade final
:
Onde
e
são as massas de repouso das partículas. Sabemos que
e
do elétron é
.
Então:
Sabemos que
, então:
Para encontrar
, precisamos resolver para
:
A equação fica:
Essa equação é não linear e pode ser resolvida numericamente. Para simplificar, assumimos que
é muito menor que
, então
:
Mas isso não faz sentido porque
não pode ser maior que
. Portanto, a abordagem correta é usar a conservação de energia e momento simultaneamente para resolver.
No entanto, para simplificar, vamos considerar que após a colisão, a energia total é:
Então, a energia total após a colisão é:
Resolvendo para
:
Agora, podemos encontrar
usando
:
Passo 8
Parte (g): Calcular a massa em repouso do sistema após a colisão
Usando a relação da energia total após a colisão:
Sabemos que
e
. Então:
Resposta
Após os cálculos:
a) Energia total do elétron:
b) Energia cinética do elétron:
c) Momento do elétron:
d) Comprimento de onda de de Broglie do elétron:
e) Momento inicial do sistema:
f) Velocidade final do sistema:
g) Massa em repouso do sistema após a colisão: