(1,0) Um elétron, com a energia em repouso 0,511 MeV, está com a velocidade u=0,99 c. Achar
(a) a sua energia total,
(b) a sua energia cinética,
© o seu momento e
(d) o comprimento de onda de de Broglie deste elétron.
O elétron colide com uma partícula estacionária de massa em repouso 1 MeV / c^2. Depois da colisão, as duas partículas ficam reunidas. Ache
(e) o momento inicial do sistema,
(f) a velocidade final do sistema de duas partículas e
(g) a massa em repouso do sistema de duas partículas.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um elétron com uma certa energia e velocidade, e pede para a gente calcular várias coisas relacionadas à física relativística, como energia total, energia cinética, momento, comprimento de onda de Broglie, e depois analisar uma colisão envolvendo o elétron. Para isso, vamos precisar usar conceitos de relatividade especial, como a energia total , energia de repouso , fator de Lorentz , momento , e as fórmulas de conservação de momento e energia. Vamos passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Calcular a energia total do elétron
Primeiro, vamos lembrar que a energia total E = gamma E0 de uma partícula em relatividade é dada por:
gamma = 1raiz1 - (0,99)^2 = 1raiz1 - 0,9801 = 1raiz0,0199 approx 10,1411 approx 7,09
Onde:
  • E = 7,09 times 0,511 , MeV approx 3,62 , MeV é a energia de repouso,
  • é o fator de Lorentz,
  • é a velocidade da partícula,
  • é a velocidade da luz.
No nosso caso, e . Vamos calcular :
Agora, multiplicamos pela energia de repouso:

Passo 3

Parte (b): Calcular a energia cinética do elétron
A energia cinética K = E - E0 em relatividade é a diferença entre a energia total K = 3,62 , MeV - 0,511 , MeV approx 3,11 , MeV e a energia de repouso :
Usando os valores que já calculamos:

Passo 4

Parte ©: Calcular o momento do elétron
O momento p = gamma m0 u em relatividade é dado por:
E^2 = (pc)^2 + (E0)^2
Onde p = raizE^2 - E0^2c é a massa de repouso. Mas primeiro, podemos relacionar energia e momento usando:
p = raiz(3,62)^2 - (0,511)^2c approx raiz13,10 - 0,261c approx raiz12,839c approx 3,583c , MeV/c
Resolvendo para p approx 3,583 , MeV/c :
Substituindo os valores:
Convertendo para unidades mais comuns:

Passo 5

Parte (d): Calcular o comprimento de onda de de Broglie do elétron
O comprimento de onda de de Broglie lambda = hp é dado por:
lambda = 4,1357 times 10^-15 , eV cdot s3,583 times 10^6 , eV/c times c = 4,1357 times 10^-153,583 times 10^6 , s cdot c
Onde lambda approx 1,154 times 10^-21 , m é a constante de Planck .
Usando :
Sabendo que é a unidade de comprimento (metros):

Passo 6

Parte (e): Calcular o momento inicial do sistema
Antes da colisão, temos o elétron em movimento e a outra partícula estacionária. O momento inicial do sistema é apenas o momento do elétron, já que a outra partícula está parada.
Já calculamos pinicial = 3,583 , MeV/c é, então:

Passo 7

Parte (f): Calcular a velocidade final do sistema após a colisão
Após a colisão, as duas partículas ficam reunidas, então podemos usar a conservação do momento:
pinicial = pfinal
A energia total após a colisão também será conservada, mas vamos simplificar usando a conservação do momento para encontrar a velocidade final pfinal = (m1 + m2) gamma v :
pinicial = (0,511 + 1) gamma v = 1,511 gamma v
Onde 3,583 = 1,511 gamma v e gamma = 1raiz1 - v^2c^2 são as massas de repouso das partículas. Sabemos que 3,583 = 1,511 vraiz1 - v^2c^2 e v approx 3,5831,511 c approx 2,371 c do elétron é Etotal = Eelétron + Emassa da outra partícula = 3,62 , MeV + 1 , MeV = 4,62 , MeV .
Então:
Etotal = gamma (m1 + m2) c^2
Sabemos que gamma = 4,621,511 approx 3,06 , então:
gamma = 1raiz1 - v^2c^2 Rightarrow raiz1 - v^2c^2 = 1gamma Rightarrow 1 - v^2c^2 = 1gamma^2
Para encontrar v^2c^2 = 1 - 1gamma^2 Rightarrow v = c raiz1 - 1(3,06)^2 approx c raiz1 - 0,106 approx c raiz0,894 approx 0,945 c , precisamos resolver para :
A equação fica:
Essa equação é não linear e pode ser resolvida numericamente. Para simplificar, assumimos que é muito menor que , então :
Mas isso não faz sentido porque não pode ser maior que . Portanto, a abordagem correta é usar a conservação de energia e momento simultaneamente para resolver.
No entanto, para simplificar, vamos considerar que após a colisão, a energia total é:
éí
Então, a energia total após a colisão é:
Resolvendo para :
Agora, podemos encontrar usando :

Passo 8

Parte (g): Calcular a massa em repouso do sistema após a colisão
Usando a relação da energia total após a colisão:
Etotal = gamma (mtotal) c^2
Sabemos que mtotal = Etotalgamma c^2 = 4,623,06 approx 1,51 , MeV/c^2 e . Então:

Resposta

Após os cálculos:
a) Energia total do elétron:
b) Energia cinética do elétron:
c) Momento do elétron:
d) Comprimento de onda de de Broglie do elétron:
e) Momento inicial do sistema:
f) Velocidade final do sistema:
g) Massa em repouso do sistema após a colisão:

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