(1,0) O vetor campo elétrico de uma onda eletromagnética com comprimento de onda de 600 nm no vácuo é dado por E(z, t)=E0 sen(k z-omega t) imath+E0 cos (k z-omega t) jmath. (a) Achar o campo magnético correspondente, (b) achar a direção de propagação da onda eletromagnética e © mostrar que os campos são perpendiculares. (d) Esta onda eletromagnética incide agora sobre um cristal birrefringente, perpendicular à face cristalina da lâmina, que possui índice de refração de 1,71 para os raios ordinários e 1,74 para os raios extraordinários. Determinar a espessura desse material para que na saída a onda esteja circularmente polarizada.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma onda eletromagnética com comprimento de onda de 600 nm no vácuo, e o campo elétrico dessa onda é dado pela expressão:
E(z, t) = E0 sin(k z - omega t) imath + E0 cos(k z - omega t) jmath
Vamos precisar usar conceitos de ondas eletromagnéticas, como a relação entre campo elétrico e magnético, direção de propagação, perpendicularidade dos campos e polarização da onda. Vamos resolver as partes (a), (b), © e (d) passo a passo.

Passo 2

Parte (a): Achar o campo magnético correspondente.
Sabemos que em uma onda eletromagnética no vácuo, os campos elétrico B = 1c k times E e magnético estão relacionados por:
onde é a velocidade da luz no vácuo e é o vetor unitário na direção de propagação da onda.

Passo 3

Primeiro, precisamos encontrar a direção de propagação k z - omega t . Vamos resolver a parte (b) primeiro para facilitar.
Parte (b): Achar a direção de propagação da onda eletromagnética.
A direção de propagação pode ser encontrada a partir da forma do argumento das funções seno e cosseno no campo elétrico:
Isso indica que a onda está se propagando na direção positiva do eixo .
Então, .

Passo 4

Agora, voltando para a parte (a), com a direção de propagação conhecida, podemos calcular o campo magnético.
Usando a relação:
B = 1c k times E
Como z times (x sin(k z - omega t) + y cos(k z - omega t)) = y sin(k z - omega t) - x cos(k z - omega t) está na direção B(z, t) = E0c ( sin(k z - omega t) jmath - cos(k z - omega t) imath ) , ou seja, , e tem componentes em e , o produto vetorial será:
Portanto, o campo magnético é:

Passo 5

Parte ©: Mostrar que os campos são perpendiculares.
Para provar que E cdot B = E0 sin(k z - omega t) (-E0c cos(k z - omega t)) + E0 cos(k z - omega t) (E0c sin(k z - omega t)) = 0 e são perpendiculares, precisamos calcular o produto escalar entre eles e mostrar que é zero.
Como o produto escalar é zero, os campos são perpendiculares.

Passo 6

Parte (d): Determinar a espessura do cristal birrefringente para que a onda esteja circularmente polarizada na saída.
Para que a onda esteja circularmente polarizada, a diferença de fase entre os raios ordinário e extraordinário deve ser De radianos (90 graus).
A diferença de fase 2pilambda De é dada por:
no = 1,71 e ne = 1,74 implies De
onde d = 600 times 10^-9 , m4 times 0,03 = 600 times 10^-90,12 = 5 times 10^-6 , m = 5 , mum é a diferença nos índices de refração, é o comprimento de onda, e é a espessura do cristal.
Queremos , então:
Dado que:
O comprimento de onda .
Substituindo:

Resposta

A espessura do cristal birrefringente deve ser de 5 micrômetros para que a onda esteja circularmente polarizada na saída.

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