O vetor campo elétrico de uma onda eletromagnética com comprimento de onda de 600 nm no vácuo é dado por
. (a) Achar o campo magnético correspondente, (b) achar a direção de propagação da onda eletromagnética e © mostrar que os campos são perpendiculares. (d) Esta onda eletromagnética incide agora sobre um cristal birrefringente, perpendicular à face cristalina da lâmina, que possui índice de refração de 1,71 para os raios ordinários e 1,74 para os raios extraordinários. Determinar a espessura desse material para que na saída a onda esteja circularmente polarizada.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma onda eletromagnética com comprimento de onda de 600 nm no vácuo, e o campo elétrico dessa onda é dado pela expressão:
Vamos precisar usar conceitos de ondas eletromagnéticas, como a relação entre campo elétrico e magnético, direção de propagação, perpendicularidade dos campos e polarização da onda. Vamos resolver as partes (a), (b), © e (d) passo a passo.
Passo 2
Parte (a): Achar o campo magnético correspondente.
Sabemos que em uma onda eletromagnética no vácuo, os campos elétrico
e magnético
estão relacionados por:
onde
é a velocidade da luz no vácuo e
é o vetor unitário na direção de propagação da onda.
Passo 3
Primeiro, precisamos encontrar a direção de propagação
. Vamos resolver a parte (b) primeiro para facilitar.
Parte (b): Achar a direção de propagação da onda eletromagnética.
A direção de propagação
pode ser encontrada a partir da forma do argumento das funções seno e cosseno no campo elétrico:
Isso indica que a onda está se propagando na direção positiva do eixo
.
Então,
.
Passo 4
Agora, voltando para a parte (a), com a direção de propagação conhecida, podemos calcular o campo magnético.
Usando a relação:
Como
está na direção
, ou seja,
, e
tem componentes em
e
, o produto vetorial será:
Portanto, o campo magnético é:
Passo 5
Parte ©: Mostrar que os campos são perpendiculares.
Para provar que
e
são perpendiculares, precisamos calcular o produto escalar entre eles e mostrar que é zero.
Como o produto escalar é zero, os campos são perpendiculares.
Passo 6
Parte (d): Determinar a espessura do cristal birrefringente para que a onda esteja circularmente polarizada na saída.
Para que a onda esteja circularmente polarizada, a diferença de fase entre os raios ordinário e extraordinário deve ser
radianos (90 graus).
A diferença de fase
é dada por:
onde
é a diferença nos índices de refração,
é o comprimento de onda, e
é a espessura do cristal.
Queremos
, então:
Dado que:
O comprimento de onda
.
Substituindo:
Resposta
A espessura do cristal birrefringente deve ser de 5 micrômetros para que a onda esteja circularmente polarizada na saída.