Calcule o valor da expressão (log2(3) * log3(4) * log4(5) * ... * log31(32)). (Dica: faça uma mudança de base)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma expressão que é o produto de várias logaritmos assim:
O conteúdo aqui envolve logaritmos e propriedades deles, especialmente a mudança de base. Vamos precisar usar a fórmula de mudança de base para simplificar essa expressão e facilitar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula de mudança de base para logaritmos. Ela diz que:
Isso significa que podemos transformar um logaritmo de qualquer base em termos de logaritmos naturais (com base ) ou em outra base que seja mais conveniente.

Passo 3

Aplicando a fórmula de mudança de base na nossa expressão, temos:
Perceba que cada fração tem um no numerador que será cancelado com o no denominador da próxima fração.

Passo 4

Agora, vamos observar o que acontece quando multiplicamos todas essas frações:
Os termos , , , …, no numerador e denominador vão se cancelar. Isso é o que chamamos de produto telescópico, onde muitos termos se anulam.

Passo 5

Após o cancelamento, o que sobra é:
Ou seja, toda a expressão original simplifica para o logaritmo de 32 na base 2:

Passo 6

Agora, vamos calcular . Sabemos que:
Portanto, .

Resposta

O valor da expressão é 5.

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