Calcule o valor da expressão
. (Dica: faça uma mudança de base)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma expressão que é o produto de várias logaritmos assim:
O conteúdo aqui envolve logaritmos e propriedades deles, especialmente a mudança de base. Vamos precisar usar a fórmula de mudança de base para simplificar essa expressão e facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de mudança de base para logaritmos. Ela diz que:
Isso significa que podemos transformar um logaritmo de qualquer base em termos de logaritmos naturais (com base
) ou em outra base que seja mais conveniente.
Passo 3
Aplicando a fórmula de mudança de base na nossa expressão, temos:
Perceba que cada fração tem um
no numerador que será cancelado com o
no denominador da próxima fração.
Passo 4
Agora, vamos observar o que acontece quando multiplicamos todas essas frações:
Os termos
,
,
, …,
no numerador e denominador vão se cancelar. Isso é o que chamamos de produto telescópico, onde muitos termos se anulam.
Passo 5
Após o cancelamento, o que sobra é:
Ou seja, toda a expressão original simplifica para o logaritmo de 32 na base 2:
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Sabemos que:
Portanto,
.
Resposta
O valor da expressão é 5.