Determine se a série converge ou diverge.
.
Passo 1
Ok, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Vamos trabalhar com conceitos de séries infinitas e analisar o comportamento dos termos para decidir isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da razão dos termos da série. Olhando para
, percebemos que o termo de maior grau no numerador é
e no denominador é
. Para grandes valores de
, os termos de menor grau têm pouca influência, então podemos aproximar a expressão por
.
Passo 3
Agora, vamos comparar nossa série com a série
, que é a famosa série harmônica. Sabemos que a série harmônica é divergente, ou seja, ela não converge para um valor finito.
Passo 4
Para fazer uma comparação mais precisa, vamos calcular o limite do quociente entre os termos da nossa série e os termos da série harmônica:
Dividindo cada termo por
:
Passo 5
Como o limite calculado é um número positivo e finito (
), pelo teste do limite para a comparação, a série original se comporta como a série harmônica para grandes
. Portanto, se a série de comparação
diverge, a nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.
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Classifique cada função como uma função potência, função raiz, função polinomial (estabeleça seu grau), função racional, função algébrica, função trigonométrica, função exponencial ou função logarítmica.
Encontre o conjunto onde a função
é contínua.
Calcule o valor da expressão
. (Dica: faça uma mudança de base)
Determine se a série converge ou diverge.
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