Determine se a série converge ou diverge. sumn=1^infty n^2-5 nn^3+n+1.

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para determinar se a série converge ou diverge. Vamos trabalhar com conceitos de séries infinitas e analisar o comportamento dos termos para decidir isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da razão dos termos da série. Olhando para , percebemos que o termo de maior grau no numerador é e no denominador é . Para grandes valores de , os termos de menor grau têm pouca influência, então podemos aproximar a expressão por .

Passo 3

Agora, vamos comparar nossa série com a série , que é a famosa série harmônica. Sabemos que a série harmônica é divergente, ou seja, ela não converge para um valor finito.

Passo 4

Para fazer uma comparação mais precisa, vamos calcular o limite do quociente entre os termos da nossa série e os termos da série harmônica:
limn to infty n^2-5 nn^3+n+11n = limn to infty n(n^2-5n)n^3+n+1 = limn to infty n^3-5n^2n^3+n+1
Dividindo cada termo por limn to infty 1 - 5n1 + 1n^2 + 1n^3 = 1 - 01 + 0 + 0 = 1 :

Passo 5

Como o limite calculado é um número positivo e finito ( ), pelo teste do limite para a comparação, a série original se comporta como a série harmônica para grandes . Portanto, se a série de comparação diverge, a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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