Calcule o valor das as integrais a seguir.
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g)
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) .
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver várias integrais aqui! O que temos são integrais indefinidas e definidas que envolvem funções exponenciais, logaritmos e frações. Pra resolver, vamos precisar saber como integrar funções básicas, usar substituição e entender propriedades dos logaritmos. Vamos por partes!
a)
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função dentro da integral: . A gente sabe que a integral de em relação a é , mas aqui temos um “u” que é .
Passo 3
Vamos usar a substituição. Vamos dizer que . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, . Isso significa que .
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Passo 5
Integrando, fica:
Agora, voltamos para :
Passo 6
Aqui temos uma fração com expoentes. A gente pode simplificar isso pra facilitar a integração.
Passo 7
Vamos dividir os termos no numerador pelo denominador:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Passo 9
Integral de é e a de é .
Passo 10
Temos uma função complicada com no numerador e denominador. Vamos tentar uma substituição.
Passo 11
Deixe . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, . Resolviendo para :
Passo 12
Substituindo na integral:
Passo 13
Integral de é , então:
Passo 14
Voltando para :
Passo 15
Agora temos uma integral definida com limites de 3 a 5. A função é uma fração que pode ser simplificada.
Passo 16
Vamos notar que o numerador é e o denominador é . Olha só, a derivada do denominador é , que é exatamente o numerador!
Passo 17
Isso significa que podemos usar a substituição direta:
Passo 18
Substituindo, a integral fica:
Passo 19
Aplicando os limites de 3 a 5:
Passo 20
Temos uma fração com no numerador e no denominador. Vamos simplificar dividindo os polinômios.