Calcule o valor das as integrais a seguir.
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e) ;
f) ;
g)
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) .
Passo 1
Beleza, a gente vai resolver várias integrais aqui! O que temos são integrais indefinidas e definidas que envolvem funções exponenciais, logaritmos e frações. Pra resolver, vamos precisar saber como integrar funções básicas, usar substituição e entender propriedades dos logaritmos. Vamos por partes!
a)
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função dentro da integral: . A gente sabe que a integral de em relação a é , mas aqui temos um “u” que é .
Passo 3
Vamos usar a substituição. Vamos dizer que . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, . Isso significa que .
Passo 4
Substituindo na integral, temos:
Passo 5
Integrando, fica:
Agora, voltamos para :
Passo 6
Aqui temos uma fração com expoentes. A gente pode simplificar isso pra facilitar a integração.
Passo 7
Vamos dividir os termos no numerador pelo denominador:
Passo 8
Agora, a integral fica:
Passo 9
Integral de é e a de é .
Passo 10
Temos uma função complicada com no numerador e denominador. Vamos tentar uma substituição.
Passo 11
Deixe . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, . Resolviendo para :
Passo 12
Substituindo na integral:
Passo 13
Integral de é , então:
Passo 14
Voltando para :
Passo 15
Agora temos uma integral definida com limites de 3 a 5. A função é uma fração que pode ser simplificada.
Passo 16
Vamos notar que o numerador é e o denominador é . Olha só, a derivada do denominador é , que é exatamente o numerador!
Passo 17
Isso significa que podemos usar a substituição direta:
Passo 18
Substituindo, a integral fica:
Passo 19
Aplicando os limites de 3 a 5:
Passo 20
Temos uma fração com no numerador e no denominador. Vamos simplificar dividindo os polinômios.
Passo 21
Dividindo por :
Então:
Passo 22
Agora, a integral fica:
Passo 23
Integrando cada parte:
Passo 24
Aqui temos uma integral com logaritmo ao quadrado no denominador. Vamos usar substituição para facilitar.
Passo 25
Deixe . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .
Passo 26
Substituindo, a integral fica:
Passo 27
Integrando, temos:
Passo 28
Voltando para e aplicando os limites de 2 a 4:
Passo 29
Essa integral é simples, pois é uma constante em relação a .
Passo 30
Integral de uma constante em relação a é .
Passo 31
Então:
Passo 32
Temos o logaritmo natural aqui, já que a integral de é .
Passo 33
Integrando:
Passo 34
Temos dividido por . Vamos usar substituição para resolver.
Passo 35
Deixe . Então, .
Passo 36
Substituindo, a integral fica:
Passo 37
Voltando para e aplicando os limites:
Passo 38
Temos uma função que envolve multiplicado por uma exponencial. Vamos usar substituição.
Passo 39
Deixe . Então, , ou seja, . Resolviendo para :
Passo 40
Substituindo na integral:
Passo 41
Voltando para e aplicando os limites de 0 a 2:
Passo 42
Semelhante à parte f), temos . Vamos usar substituição.
Passo 43
Deixe . Então, .
Passo 44
Substituindo, a integral fica:
Passo 45
Integrando:
Passo 46
Voltando para e aplicando os limites de a :
Passo 47
Temos uma fração com expoentes. Vamos simplificar a expressão.