Calcule o valor das as integrais a seguir.
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
e)
f) ;
g)
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) .

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver várias integrais aqui! O que temos são integrais indefinidas e definidas que envolvem funções exponenciais, logaritmos e frações. Pra resolver, vamos precisar saber como integrar funções básicas, usar substituição e entender propriedades dos logaritmos. Vamos por partes!

a)

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função dentro da integral: . A gente sabe que a integral de em relação a é , mas aqui temos um “u” que é .

Passo 3

Vamos usar a substituição. Vamos dizer que . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, . Isso significa que .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:

Passo 5

Integrando, fica:
Agora, voltamos para :

Passo 6

Aqui temos uma fração com expoentes. A gente pode simplificar isso pra facilitar a integração.

Passo 7

Vamos dividir os termos no numerador pelo denominador:

Passo 8

Agora, a integral fica:

Passo 9

Integral de é e a de é .

Passo 10

Temos uma função complicada com no numerador e denominador. Vamos tentar uma substituição.

Passo 11

Deixe . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, . Resolviendo para :

Passo 12

Substituindo na integral:

Passo 13

Integral de é , então:

Passo 14

Voltando para :

Passo 15

Agora temos uma integral definida com limites de 3 a 5. A função é uma fração que pode ser simplificada.

Passo 16

Vamos notar que o numerador é e o denominador é . Olha só, a derivada do denominador é , que é exatamente o numerador!

Passo 17

Isso significa que podemos usar a substituição direta:

Passo 18

Substituindo, a integral fica:

Passo 19

Aplicando os limites de 3 a 5:

Passo 20

Temos uma fração com no numerador e no denominador. Vamos simplificar dividindo os polinômios.

Passo 21

Dividindo por :
Então:

Passo 22

Agora, a integral fica:

Passo 23

Integrando cada parte:

Passo 24

Aqui temos uma integral com logaritmo ao quadrado no denominador. Vamos usar substituição para facilitar.

Passo 25

Deixe . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 26

Substituindo, a integral fica:

Passo 27

Integrando, temos:

Passo 28

Voltando para e aplicando os limites de 2 a 4:

Passo 29

Essa integral é simples, pois é uma constante em relação a .

Passo 30

Integral de uma constante em relação a é .

Passo 31

Então:

Passo 32

Temos o logaritmo natural aqui, já que a integral de é .

Passo 33

Integrando:

Passo 34

Temos dividido por . Vamos usar substituição para resolver.

Passo 35

Deixe . Então, .

Passo 36

Substituindo, a integral fica:

Passo 37

Voltando para e aplicando os limites:

Passo 38

Temos uma função que envolve multiplicado por uma exponencial. Vamos usar substituição.

Passo 39

Deixe . Então, , ou seja, . Resolviendo para :

Passo 40

Substituindo na integral:

Passo 41

Voltando para e aplicando os limites de 0 a 2:

Passo 42

Semelhante à parte f), temos . Vamos usar substituição.

Passo 43

Deixe . Então, .

Passo 44

Substituindo, a integral fica:

Passo 45

Integrando:

Passo 46

Voltando para e aplicando os limites de a :

Passo 47

Temos uma fração com expoentes. Vamos simplificar a expressão.

Passo 48

Fatorando do denominador:

Passo 49

Deixe . Então, , ou seja, . Resolviendo para :

Passo 50

Substituindo na integral:

Passo 51

Voltando para e aplicando os limites de 1 a 2:

Resposta

O valor da integral definida é .

Exercícios relacionados

Encontre a derivada de cada uma das funções a seguir.
a) ;
b) ;
c) ;
d) ;
f) ;
g) ;
h) ;
i) ;
j) ;
k) ;
l) .
Limites no infinito
Determine o valor da área da região definida pelas curvas , e .
Estime o valor dos seguintes limites: