Calcule o valor das as integrais a seguir.
a) integral e^2-5 x d x;
b) integral 1+e^2 xe^x d x;
c) integral e^3 x(1-2 e^3 x)^2 d x;
d) integral3^5 2 xx^2-5 d x;
e) integral1^3 2 x+3x+1 d x
f) integral2^4 d xx ln ^2 x;
g) integral0^1 e^2 d x
h) integrale^e^2 d xx d x;
i) integral1^e ln xx d x;
j) integral0^2 x e^4-x^2 d x;
k) integrale^e^2 d xx ln ^2 x;
l) integral1^2 e^xe^x+e d x.

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver várias integrais aqui! O que temos são integrais indefinidas e definidas que envolvem funções exponenciais, logaritmos e frações. Pra resolver, vamos precisar saber como integrar funções básicas, usar substituição e entender propriedades dos logaritmos. Vamos por partes!

a)

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função dentro da integral: . A gente sabe que a integral de em relação a é , mas aqui temos um “u” que é .

Passo 3

Vamos usar a substituição. Vamos dizer que . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, . Isso significa que .

Passo 4

Substituindo na integral, temos:
integral e^u cdot (du-5) = -15 integral e^u , du

Passo 5

Integrando, fica:
-15 e^u + C
Agora, voltamos para -15 e^2 - 5x + C :

Passo 6

Aqui temos uma fração com expoentes. A gente pode simplificar isso pra facilitar a integração.

Passo 7

Vamos dividir os termos no numerador pelo denominador:
1e^x + e^2xe^x = e^-x + e^x

Passo 8

Agora, a integral fica:
integral (e^-x + e^x) , dx

Passo 9

Integral de é e a de é .

Passo 10

Temos uma função complicada com no numerador e denominador. Vamos tentar uma substituição.

Passo 11

Deixe dx = du-6 e^3x . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, . Resolviendo para :

Passo 12

Substituindo na integral:
integral e^3xu^2 cdot du-6 e^3x = -16 integral 1u^2 , du

Passo 13

Integral de -16 (-1u) + C = 16u + C é , então:

Passo 14

Voltando para 16(1 - 2e^3x) + C :

Passo 15

Agora temos uma integral definida com limites de 3 a 5. A função é uma fração que pode ser simplificada.

Passo 16

Vamos notar que o numerador é e o denominador é . Olha só, a derivada do denominador é , que é exatamente o numerador!

Passo 17

Isso significa que podemos usar a substituição direta:
u = x^2 - 5 Rightarrow du = 2x , dx

Passo 18

Substituindo, a integral fica:
integral duu = ln|u| + C

Passo 19

Aplicando os limites de 3 a 5:
ln(x^2 - 5) |3^5 = ln(25 - 5) - ln(9 - 5) = ln(20) - ln(4) = ln(204) = ln(5)

Passo 20

Temos uma fração com no numerador e no denominador. Vamos simplificar dividindo os polinômios.

Passo 21

Dividindo 2x + 3 = 2(x + 1) + 1 por 2x + 3x + 1 = 2 + 1x + 1 :
Então:

Passo 22

Agora, a integral fica:
integral1^3 (2 + 1x + 1) , dx = integral1^3 2 , dx + integral1^3 1x + 1 , dx

Passo 23

Integrando cada parte:
2x |1^3 + ln|x + 1| |1^3 = 2(3) - 2(1) + ln(4) - ln(2) = 6 - 2 + ln(2) = 4 + ln(2)

Passo 24

Aqui temos uma integral com logaritmo ao quadrado no denominador. Vamos usar substituição para facilitar.

Passo 25

Deixe . Então, a derivada de em relação a é , ou seja, .

Passo 26

Substituindo, a integral fica:
integral 1u^2 , du = integral u^-2 , du

Passo 27

Integrando, temos:
-1u + C

Passo 28

Voltando para -1ln x |2^4 = -1ln 4 + 1ln 2 = 1ln 2 - 12ln 2 = 12ln 2 e aplicando os limites de 2 a 4:

Passo 29

Essa integral é simples, pois é uma constante em relação a .

Passo 30

Integral de uma constante em relação a é .

Passo 31

Então:
e^2 x |0^1 = e^2(1) - e^2(0) = e^2 - 0 = e^2

Passo 32

Temos o logaritmo natural aqui, já que a integral de é .

Passo 33

Integrando:
ln|x| |e^e^2 = ln(e^2) - ln(e) = 2ln e - ln e = 2(1) - 1 = 1

Passo 34

Temos dividido por . Vamos usar substituição para resolver.

Passo 35

Deixe . Então, .

Passo 36

Substituindo, a integral fica:
integral u , du = u^22 + C

Passo 37

Voltando para (ln x)^22 |1^e = (1)^22 - (0)^22 = 12 - 0 = 12 e aplicando os limites:

Passo 38

Temos uma função que envolve multiplicado por uma exponencial. Vamos usar substituição.

Passo 39

Deixe x , dx = -12 du . Então, , ou seja, . Resolviendo para :

Passo 40

Substituindo na integral:
-12 integral e^u , du = -12 e^u + C

Passo 41

Voltando para -12 e^4 - x^2 |0^2 = -12 (e^0 - e^4) = -12 (1 - e^4) = e^4 - 12 e aplicando os limites de 0 a 2:

Passo 42

Semelhante à parte f), temos . Vamos usar substituição.

Passo 43

Deixe . Então, .

Passo 44

Substituindo, a integral fica:
integral 1u^2 , du = integral u^-2 , du

Passo 45

Integrando:
-1u + C

Passo 46

Voltando para -1ln x |e^e^2 = -12 + 11 = -12 + 1 = 12 e aplicando os limites de a :

Passo 47

Temos uma fração com expoentes. Vamos simplificar a expressão.

Passo 48

Fatorando e^xe^x + e = e^xe(e^x - 1 + 1) = e^x - 1e^x - 1 + 1 do denominador:

Passo 49

Deixe dx = due^x - 1 = duu . Então, , ou seja, . Resolviendo para :

Passo 50

Substituindo na integral:
integral uu + 1 cdot duu = integral 1u + 1 , du = ln|u + 1| + C

Passo 51

Voltando para ln(e^2 - 1 + 1) - ln(e^1 - 1 + 1) = ln(e + 1) - ln(1 + 1) = ln(e + 1) - ln(2) e aplicando os limites de 1 a 2:

Resposta

O valor da integral definida é .

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