Estime o valor dos seguintes limites: lim x 0 raizx^2+9-3x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para estimar . Estamos lidando com limites, que é um conceito de Cálculo, e vamos precisar usar uma técnica chamada racionalização para simplificar essa expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão . Quando se aproxima de 0, tanto o numerador quanto o denominador estão se aproximando de 0, o que nos dá uma forma indeterminada . Para resolver isso, a gente pode racionalizar o numerador.

Passo 3

Racionalizar significa eliminar a raiz quadrada do numerador. Para fazer isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pela expressão conjugada do numerador, que é raizx^2+9-3x^2 times raizx^2+9+3raizx^2+9+3 :

Passo 4

Multiplicando os numeradores e denominadores:
(raizx^2+9-3)(raizx^2+9+3)x^2(raizx^2+9+3) = (x^2+9) - 9x^2(raizx^2+9+3)
Aqui, usamos a identidade .

Passo 5

Simplificando o numerador:
x^2x^2(raizx^2+9+3) = 1raizx^2+9+3
Os cancelam, deixando uma expressão mais simples para calcular o limite.

Passo 6

Agora, substituímos 1raiz0 + 9 + 3 = 13 + 3 = 16 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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